MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Un integrale

Un integrale

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 6 Luglio 2010

Ricevo da Luca la seguente domanda:

Gentile professore, se possibile vorrei che Lei mi aiutasse a risolvere quest’integrale, ho provato in diversi modi ma non sono riuscito a trovare una soluzione, grazie
Luca
                                      \[\int{\sin \left( x \right)}\arctan \left( \cos \left( x \right) \right)\,dx\]
                  
Gli rispondo così:
 
Caro Luca,
la prima cosa che si osserva è la possibilità di effettuare la sostituzione \(\cos(x)=t\), da cui \(dt=-\sin(x)dx\), per cui l’integrale diventa
\[\int{\sin \left( x \right)}\arctan \left( \cos \left( x \right) \right)\,dx=-\int{\arctan \left( t \right)\,dt}\]
e l’integrale di \(\arctan(t)\) si risolve per parti, assumendo l’unità come fattor finito e \(\arctan(t)\) come fattor differenziale:
\[-\int{\arctan \left( t \right)\,dt}=-t\arctan \left( t \right)+\int{\frac{t}{1+{{t}^{2}}}\,dt}=-t\arctan \left( t \right)+\frac{1}{2}\int{\frac{2t}{1+{{t}^{2}}}\,dt}\]
L’ultimo integrale è del tipo \(f^\prime/f\), per cui
\[-\int{\arctan \left( t \right)\,dt}=-t\arctan \left( t \right)+\frac{1}{2}\ln \left( 1+{{t}^{2}} \right)+c\ .\]
Sostituendo di nuovo \(t=cos(x)\) si ha:
\[\int{\sin \left( x \right)}\arctan \left( \cos \left( x \right) \right)\,dx=\frac{\ln \left( 1+{{\cos }^{2}}x \right)}{2}-\cos x\cdot \arctan \left( \cos x \right)\quad .\]
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, integrali


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl