Ricevo da Giuseppe la seguente domanda:
Studiare il comportamento della funzione e schizzarne il grafico:
\[y=\frac{{{e}^{x}}}{x-1}\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Giuseppe,
la funzione che proponi è definita per ogni \(x\neq 1\), non è mai nulla ed è positiva per \(x>1\) e negativa per \(x<1\), essendo il numeratore sempre strettamente positivo. I seguenti limiti sono abbastanza ovvi, eccetto quello per \(x\) che tende a \(+\infty\) che si presenta come \(\infty/\infty\), ma l’nfinito esponenziale prevale sull’infinito algebrico del denominatore, come si dimostra in generale con il teorema di de l’Hopital:
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{x-1}=\frac{0}{-\infty }=0\quad \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{x-1}=\frac{e}{{{0}^{-}}}=-\infty \quad \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{x-1}=\frac{e}{{{0}^{+}}}=+\infty \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{x-1}=+\infty \ .\]
La funzione presenta dunque un asintoto verticale in corrispondenza a \(x=1\), mentre l’asse delle \(x\) è asintoto orizzontale a \(-\infty\).
La derivata
\[y’=\frac{{{e}^{x}}\left( x-2 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]
si annulla per \(x=2\), ed è negativa prima e positiva dopo tale valore, per cui il punto \((2,e^2)\) rappresenta un minimo relativo per la funzione. La derivata seconda
\[y”=\frac{{{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}-4x+5 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{3}}}\]
non si annulla mai ma cambia segno, da negativo a positivo, in corrispondenza dell’asintoto \(x=1\), per cui si ha un cambio di concavità del grafico, da rivolta verso il basso a rivolta verso l’alto.
Massimo Bergamini