Massimo BergaminiL'ESPERTO DI MATEMATICA
Il dominio di una funzione a due variabili
Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Egregio professore ho un dubbio per quanto riguarda il dominio di questa funzione
\[F\left( x,y \right)=\log \left( {{x}^{2}}-3x+2 \right)+\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}\quad .\]
Il dominio in questo caso è semplicemente connesso o no? Fatemi vedere il grafico del dominio, grazie.
Un problema di min/max vincolato nel piano complesso
Ricevo da Marco la seguente domanda:
Salve professore, le pongo il seguente problema: tra gli \(z\) complessi tali che
\[\left| z-1 \right|<\left| z+i+3 \right|\]
determinare, se esistono, quello per cui \(\left| z-3i+4 \right|\) risulta minimo o risulta massimo.
Grazie.
Un problema di urne
Ricevo da Daniele la seguente domanda:
Buon giorno.
Da un qualche giorno cerco di cimentarmi su un problema di Statistica:
Tre urne hanno il seguente contenuto: la prima contiene 5 palline bianche, 3 verdi, 2 rosse; la seconda contiene 4 bianche, 4 verdi, 6 rosse; la terza 1 bianca 3 verdi 7 rosse. Da un’urna (scelta a caso) viene estratta una pallina (detta X) e la X viene rimessa nella terza urna.
Da questa configurazione nuova viene estratta un’altra pallina (detta Y) da un’urna scelta a caso.
Qual è la probabilità che la pallina Y sia bianca?
Qual è la probabilità che la pallina Y sia bianca?
Se l’ultima estrazione ha dato come risultato Y=verde, qual è la probabilità che Y=X?
Il mio professore mi ha detto che è una ripartizione doppia. Ma come posso definirla? E come si risolvono i due punti?
Vi ringrazio e vi saluto cordialmente.
Daniele Tripoli
Sulla continuità di una funzione
Ricevo da Rosanna la seguente domanda:
Salve professore,
la scorsa volta è stato gentile e chiaro nella spiegazione ma…purtroppo ho difficoltà. Le presento la risoluzione di questo esercizio, così come l’ho fatto io (anche se sono sicura che sia sbagliato!).
Si verifichi la continuità o meno della funzione:
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x\cos\left(\frac{1}{x}\right)\;\;\;\;x\neq 0 \\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=0 \end{array} \right.\]
Innanzitutto le considero come due funzioni diverse che esaminerò singolarmente.
1. Insieme di definizione della prima funzione: per ogni \(x\) appartenente ad \(\mathbb{R}\) escluso il punto \(0\) perchè si annulla il denominatore dell’argomento del coseno \(1/x\) (quindi \(x=0\) verrà esaminato attentamente perchè un punto di discontinuità); mentre la seconda funzione è solo un punto.
2. \(f(x)=x\cos(1/x)\) è continua per ogni punto del suo insieme di definizione, inoltre è composta da funzioni continue, tranne in \(x=0\) dove \(1/x\) non è definita (ma non mi interessa perchè nella traccia esclude questo punto).
3. Determino il valore della funzione \(f(x)=x\cos(1/x)\) in \(x=0\) ….come faccio???? Siccome in \(0\) non è definita e quindi non posso calcolarlo devo considerare la seconda funzione dove mi dice che \(f(x)=0\) per \(x=0\) ????
4. Determino il valore del limite, se esiste, per \(x\) che tende a \(0\) della funzione \(f(x)=x\cos(1/x)\) (cosa devo utilizzare? Sostituzione o limiti notevoli? Non capisco).
3. Determino il valore della funzione \(f(x)=x\cos(1/x)\) in \(x=0\) ….come faccio???? Siccome in \(0\) non è definita e quindi non posso calcolarlo devo considerare la seconda funzione dove mi dice che \(f(x)=0\) per \(x=0\) ????
4. Determino il valore del limite, se esiste, per \(x\) che tende a \(0\) della funzione \(f(x)=x\cos(1/x)\) (cosa devo utilizzare? Sostituzione o limiti notevoli? Non capisco).
5. Eguaglio il limite con \(f(0)\) : se è uguale, allora la funzione è continua.
Dove sbaglio? Perché non riesco a svolgerlo? E se nella seconda funzione \(f(x)=0\) ci fosse stata una funzione normale e non un valore???? Poi se \(f(x)=x\cos(1/x)\) non è definita in \(0\), come fa ad essere continua, perchè nel secondo caso mi ha detto che in \(0\) la funzione vale \(f(x)=0\) ???
MI AIUTI!! NON SO COME FARE!!
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