Ricevo da Rosanna la seguente domanda:
Salve professore,
ho risolto questo esercizio ma ho incontrato alcune difficoltà che mi fanno pensare di averlo sbagliato.
L’esercizio è il seguente:
Sia data la funzione
\[f\left( x \right)={{e}^{1/x}}\sqrt{x+4}\quad .\]
a) Determinare l’ \(inf(f)\) e il \(sup(f)\);
b) dire se è limitata;
c) determinare max e min relativi;
d) dire se è continua e se è derivabile giustificando le risposte;
e) disegnare il relativo grafico.
La ringrazio immensamente se potrà aiutarmi perché ho dei forti dubbi e non riesco a trovare la teoria che mi confermi se ciò che ho fatto è giusto o meno.
Grazie mille per la sua disponibilità.
Le rispondo così:
Cara Rosanna,
la funzione, definita per \(x\geq -4\wedge x\neq 0\), non è limitata superiormente perché tende a \(+\infty\), sia per \(x\) che tende a \(0^+\) (l’esponenziale tende ad avere esponente \(+\infty\)) che per \(x\) che tende a \(+\infty\) (la radice tende a \(+\infty\) mentre l’esponenziale tende a 1), mentre è sicuramente limitata inferiormente poiché è non negativa. Poiché \(f(-4)=0\), possiamo dire che \(inf(f)=0\), e tale valore è anche minimo assoluto per \(f(x)\), mentre \(sup(f)\) non esiste.
La funzione, dove è definita, è continua, in quanto prodotto di funzioni continue. Non ritengo quindi di dover classificare \(x=0\) come punto di discontinuità, anche se in tale punto si verifica una evidente discontinuità del grafico, proprio perché in tale punto la funzione non è definita.
Riguardo a eventuali max e min relativi, li dobbiamo ricercare in primo luogo tra i valori di annullamento della derivata prima:
\[f’\left( x \right)=\frac{{{e}^{1/x}}\left( {{x}^{2}}-2x-8 \right)}{2{{x}^{2}}\sqrt{x+4}}\]
Notiamo, per inciso, che la funzione derivata non è definita in \(x=-4\), dove tende ad assumere valore \(+\infty\) (tangente verticale), benché in tale punto la funzione sia continua; in ogni altro punto del dominio la funzione è derivabile. La derivata si annulla in corrispondenza ai valori \(x=-2\) e \(x=4\), e il suo segno è dato dal segno del polinomio \(x^2-2x-8\), positivo al di fuori e negativo all’interno dell’intervallo \([-2,4]\), per cui in \(x=-2\) si ha un max relativo e in \(x=4\) un min relativo.
Massimo Bergamini