Ricevo da Adriano la seguente domanda:
Caro professore, mi potrebbe aiutare a rispondere ai punti di questo esercizio?
Con
\[f\left( x \right)={{\log }_{2}}\left( \left| {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}-1 \right|+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{x}}+1 \right)\quad \quad g\left( x \right)=\frac{1}{{{2}^{x-3}}}-1\]
i punti da risolvere sono:
a) grafico di entrambe, c.e., codominio e intersezioni con gli assi;
b) determinare \(f\circ g\) e \(g\circ f\);
c) disegnare il grafico di \({{\left( f\circ g \right)}^{2}}\).
Si tratta del problema pagina U44 numero 15 del manuale blu di matematica. La ringrazio in anticipo.
Adriano
Gli rispondo così:
Caro Adriano,
per prima cosa, eliminando il valore assoluto dall’argomento del logaritmo nella funzione \(f(x)\), tenendo conto che \((1/2)^x-1>0\to x<0\), si ha:
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1-x\;\;\;x< 0 \\ \;\;\;\;1\;\;\;\;x\geq 0 \end{array} \right.\;.\]
Il campo di esistenza di entrambe le funzioni è tutto \(\mathbb{R}\); il codominio di \(f(x)\) è l’insieme \(y\geq 1\), mentre quello di \(g(x)\) si deduce dal fatto che la funzione è ottenuta per traslazione di un unità verso il semipiano delle \(y\) negative dalla funzione \(y=1/2^{x-3}\), a sua volta traslata in senso \(x>0\) di 3 unità rispetto all’esponenziale \(y=1/2^x\), per cui il codominio è l’insieme \(y>-1\). La funzione \(f(x)\) interseca solamente l’asse \(y\), nel punto \((0,1)\), mentre \(g(x)\) interseca l’asse \(x\) in \((3,0)\) e l’asse \(y\) in\((0,7)\).
La funzione \(f(x)\) è ovviamente non iniettiva, poiché assume infinite volte lo stesso valore, cioè 1, mentre la \(g(x)\) è iniettiva, pertanto realizza una corrispondenza biunivoca tra il suo dominio e il suo codominio, cioè tra \(\mathbb{R}\) e \(]-1,+\infty[\).
Per determinare le funzioni composte \(f\circ g\) e \(g\circ f\), bisogna far attenzione alla duplice definizione di \(f(x)\): nel primo caso, si devono considerare separatamente i valori di \(x\) per i quali \(g(x)<0\) e per i quali invece \(g(x)\geq 0\), cioè \(x>3\) e \(x\leq 3\):
\[ f\circ g =\left\{ \begin{array}{ll}\;\;\;\;1\;\;\;x\leq 3 \\ 2-2^{3-x}\;\;\;\;x>3 \end{array} \right.\;.\]
In modo analogo, si ottiene:
\[ g\circ f =\left\{ \begin{array}{ll} 2^{x+2}-1\;\;\;x<0 \\ \;\;\;\;3\;\;\;\;x\geq 0 \end{array} \right.\;.\]
Una volta disegnato il grafico di \(f\circ g\), facilmente si deduce quello di \({{\left( f\circ g \right)}^{2}}\).
Massimo Bergamini