Ricevo da Mery la seguente domanda:
Caro professore, se ho la funzione
\[f\left( x \right)=-\ln \left( -x \right)-1\]
come faccio a disegnare i grafici di \(y=|f(x)-1|\), di \(y=-f(-x)\) e di \(y=f^2(x)\) e ricavarmi da questi grafici il campo di esistenza?
Grazie mille per la sua disponibilità
Le rispondo così:
Cara Mery,
tutte le funzioni da rappresentare possono essere ottenute operando opportune trasformazioni sulla funzione \(y=\ln x\): la stessa \(f\left( x \right)=-\ln \left( -x \right)-1\) è ottenuta da \(y=\ln x\) operando in successione le seguenti isometrie:
\[ \left\{ \begin{array}{ll} x^\prime =-x \\ y^\prime =y \end{array} \right.\;\;\;\;\; \left\{ \begin{array}{ll} x^\prime =x \\ y^\prime =-y \end{array} \right.\;\;\;\;\; \left\{ \begin{array}{ll} x^\prime =x \\ y^\prime =y-1 \end{array} \right.\]
La prima simmetria inverte il dominio di \(y=\ln x\), facendolo diventare \(x<0\), la seconda simmetria e la traslazione non modificano la \(x\) quindi non modificano il dominio.
Il grafico della funzione \(y=|f(x)-1|\) si ottiene da quello di \(y=f(x)-1\) “ribaltando” la parte negativa al di sopra dell’asse \(x\): poiché \(y=f(x)-1\) ha lo stesso dominio di \(f(x)\), essendone la traslata in senso \(y\), anche \(y=|f(x)-1|\) conserva lo stesso dominio, cioè \(x<0\).
La funzione \(y=-f(-x)\), invece, essendo ottenibile da \(f(x)\) applicando una simmetria centrale di centro l’origine, cioè una combinazione di una simmetria rispetto all’asse \(y\) e di una rispetto all’asse \(x\), ha come dominio \(x>0\).
Infine, il grafico di \(y=f^2(x)\) (funzione che ovviamente ha lo stesso dominio di \(f(x)\)) si può dedurre da quello di \(f(x)\) considerando che entrambe le funzioni valgono zero nello stesso punto (\(x=-1/e\)), \(y=f^2(x)\) è sempre positiva anche dove \(f(x)\) è negativa, e \(f^2(x)<|f(x)|\) dove \(|f(x)|<1\), \(f^2(x)>|f(x)|\) dove \(|f(x)|>1\), \(f^2(x)=|f(x)|=1\) dove \(|f(x)|=1\) (cioè per \(x=-1\) e per \(x=1/e^2\)).
Massimo Bergamini