Ricevo da Denise la seguente domanda:
Buon pomeriggio professore, volevo chiederle chiarimenti su un esercizio del suo libro corso base blu di matematica, volume 3 pag 82S numero 561. Si tratta di una disequazione irrazionale:
\[-3\sqrt{2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}}+\frac{9}{4}>{{\left( x-\frac{3}{2} \right)}^{2}}\]
Grazie per l’attenzione!
Le rispondo così:
Cara Denise,
riduciamo la disequazione a forma normale:
\[\sqrt{2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}}<-\frac{1}{3}{{x}^{2}}+x\]
che è equivalente al sistema:
\[\left\{ \begin{array}{lll} 2x^3-6x^2\geq 0 \\ -x^2/3+x\geq 0 \\ x^4-24x^3+63x^2>0 \end{array} \right.\;.\]
Poiché la prima disequazione ha soluzione \(x=0\vee x\geq 3\), mentre la seconda ha soluzione \(x=0\vee x\leq 3\), la loro intersezione è data dai soli valori \(x=0\) e \(x=3\): entrambi non soddisfano la terza disequazione, poiché rendono nullo il primo membro, a fronte di una richiesta di stretta positività: il sistema è impossibile, e con esso la disequazione iniziale a cui equivale.
Massimo Bergamini