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Punti estremali di funzioni a due variabili

Punti estremali di funzioni a due variabili

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 29 Settembre 2010

Ricevo da Paola la seguente domanda:

Gentile prof, avrei bisogno di lei per lo svolgimento di questo esercizio…
Determinare gli eventuali punti estremali delle seguenti funzioni
                                                    \[f\left( x,y \right)={{x}^{2}}{{e}^{x}}+{{y}^{2}}-2y\]
                                 \[g\left( x,y \right)=\ln \left( {{x}^{2}}+2x \right)+\frac{{{y}^{3}}}{3}-y\quad .\]
Grazie 
 
Le rispondo così:
 
Cara Paola,
trattandosi di ricercare eventuali punti estremali liberi, ricaviamo le derivate parziali di ciascuna funzione:
                              \[{{\partial }_{x}}f=x{{e}^{x}}\left( x+2 \right)\quad \quad {{\partial }_{y}}f=2y-2\]
                 \[{{\partial }_{x}}g=\frac{2\left( x+1 \right)}{{{x}^{2}}+2x}\quad \quad {{\partial }_{y}}g={{y}^{2}}-1\]
Nel primo caso, si ha
    \[\left\{ \begin{array}{ll} x{{e}^{x}}\left( x+2 \right)=0 \\ 2y-2=0 \end{array} \right.\Rightarrow x=0\vee x=-2,\;\;y=1\]
cioè gli eventuali punti estremali sono \(A(0,1)\) e \(B(-2,1)\). Esaminiamo in entrambi i casi il determinante Hessiano:
          \[{{\partial }_{xx}}f={{e}^{x}}\left( {{x}^{2}}+4x+2 \right)\quad {{\partial }_{xy}}f=0\quad {{\partial }_{yy}}f=2\]
da cui
                                     \[{{H}_{f}}(A)=4\wedge {{\partial }_{xx}}f>0\Rightarrow A\quad \min \]
                                  \[{{H}_{f}}(B)=-4/{{e}^{2}}<0\Rightarrow B\quad \text{sella}\quad \text{.}\]
Nel secondo caso, il sistema
                \[\left\{ \begin{array}{ll} \frac{2\left( x+1 \right)}{{{x}^{2}}+2x}=0 \\ {{y}^{2}}-1=0 \end{array} \right.\]
risulta impossibile (\(x=-1\), che soddisfa la prima equazione, non è accettabile in quanto esterno al dominio della funzione), pertanto non vi sono punti estremali.
 
Massimo Bergamini

 

Tag: analisi infinitesimale, derivate parziali, funzioni a più variabili, punti critici


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