Ricevo da Danilo la seguente domanda:
Gentile prof,
ho dei problemi a risolvere questo quesito:
determinare gli estremi relativi e gli eventuali estremi assoluti della funzione
\[f\left( x,y \right)=g\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)\]
essendo
\[g\left( t \right)=\int\limits_{0}^{{{t}^{2}}}{\frac{1}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}\,dt}\quad .\]
Gli rispondo così:
Caro Danilo,
possiamo determinare \(g(t)\) direttamente per integrazione indefinita:
\[\int{\frac{1}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}\,dt}=\frac{1}{2}\arctan t+\frac{1}{2}\frac{t}{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}+c\to \int\limits_{0}^{{{t}^{2}}}{\frac{1}{{{\left( 1+{{t}^{2}} \right)}^{2}}}\,dt}=\frac{1}{2}\arctan \left( {{t}^{2}} \right)+\frac{1}{2}\frac{{{t}^{2}}}{\left( 1+{{t}^{4}} \right)}\]
da cui:
\[f\left( x,y \right)=\frac{1}{2}\arctan \left( {{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)}^{2}} \right)+\frac{1}{2}\frac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)}^{2}}}{\left( 1+{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)}^{4}} \right)}\quad .\]
Derivando parzialmente si ottiene:
\[{{\partial }_{x}}f\left( x,y \right)=\frac{4x\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)}{{{\left( 1+{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)}^{4}} \right)}^{2}}}\quad \quad {{\partial }_{y}}f\left( x,y \right)=\frac{4y\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)}{{{\left( 1+{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)}^{4}} \right)}^{2}}}\quad .\]
Allo stesso risultato si poteva pervenire più brevemente osservando che, posto \(p(t)=t^2\):
\[\frac{dg}{dt}=\frac{d}{dp}\left( \int\limits_{0}^{p(t)}{\frac{ds}{{{\left( 1+{{s}^{2}} \right)}^{2}}}} \right)\cdot \frac{dp\left( t \right)}{dt}=\frac{1}{{{\left( 1+{{p}^{2}} \right)}^{2}}}\cdot \frac{dp\left( t \right)}{dt}=\frac{2t}{{{\left( 1+{{t}^{4}} \right)}^{2}}}\]
da cui, per \(t=x^2+y^2-1\):
\[{{\partial }_{x}}f\left( x,y \right)=\frac{dg}{dt}\cdot \frac{\partial t}{\partial x}=\frac{2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)}{{{\left( 1+{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)}^{4}} \right)}^{2}}}\cdot 2x=\frac{4x\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)}{{{\left( 1+{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-1 \right)}^{4}} \right)}^{2}}}\]
e in modo analogo per \({{\partial }_{y}}f\left( x,y \right)\).
Le derivate parziali si annullano simultaneamente in tutti i punti tali che \(x^2+y^2-1=0\) oppure in \((0,0)\).
Poiché facilmente si osserva che la funzione \(f(x,y)\), definita in tutto \({{\mathbb{R}}^{2}}\), è non negativa per ogni \((x,y)\in {\mathbb{R}}^{2}\), e che \(f(x,y)=0\) se e solo se \(x^2+y^2-1=0\), si conclude che i punti della circonferenza unitaria \(x^2+y^2-1=0\) sono tutti punti di minimo, sia relativo che assoluto, per la funzione. Riguardo al punto \((0,0)\), possiamo classificarlo come massimo relativo ricavando (con molta pazienza) le derivate parziali seconde e calcolandole in \((0,0)\): si ottiene il determinante Hessiano:
\[\left| \begin{array}{ll} -1\;\;\;\;0 \\ 0\;\;\;\;-1 \end{array} \right|=1>0\]
e poiché è negativo il segno di \({{\partial }_{xx}}f\left( 0,0 \right)\), si può classificare il punto come massimo relativo.
Un modo alternativo di pervenire alla stessa conclusione può partire dall’osservazione che la funzione, che ha una evidente simmetria radiale, presenta un massimo relativo nell’origine rispetto a qualsiasi direzione.
Il massimo relativo nell’origine, di valore \((\pi+2)/8\approx 0,643\), non è massimo assoluto, poichè la funzione, al tendere di \(\sqrt{x^2+y^2}\) all’infinito, tende a \(\pi/4\approx 0,785\): tale valore è l’estremo superiore per l’insieme dei valori della funzione ma non vi appartiene, per cui la funzione non ammette massimo assoluto.
Massimo Bergamini