Ricevo da Rosaria la seguente domanda:
Gentile professore, non riesco a risolvere i seguenti esercizi:
1) Determinare i valori del parametro \(a\) per i quali è positiva la soluzione dell’equazione
\[\frac{1}{x+a-2}=\frac{2}{x-a+2}\]
2) Risolvere la seguente disequazione:
\[a{{x}^{2}}-\left( {{a}^{2}}-2 \right)x-2a>0\quad .\]
Le rispondo così:
Cara Rosaria,
innanzitutto, una eventuale soluzione \(x\) della prima equazione è accettabile se \(x\neq \pm(a-2)\). Posto che sia così, l’equazione è equivalente alla seguente equazione intera:
\[x-a+2=2x+2a-4\to x=-3a+6\]
e tale soluzione è accettabile e positiva se soddisfa il seguente
\[\left\{ \begin{array}{ll} -3a+6\neq \pm(a-2) \\ -3a+6>0 \end{array} \right.\]
cioè
\[\left\{ \begin{array}{ll} a\neq 2 \\ a<2 \end{array}\;\;\to a<2 \right.\;\;\,\;.\]
La disequazione, invece, può essere così discussa (indichiamo con \(S\) l’insieme soluzione):
se \(a=0\) si riduce alla disequazione di 1° grado \(2x>0\to S=\{x>0\}\);
Poiché
\[\Delta (a)={{\left( {{a}^{2}}-2 \right)}^{2}}+8{{a}^{2}}={{a}^{4}}-4{{a}^{2}}+4+8{{a}^{2}}={{\left( {{a}^{2}}+2 \right)}^{2}}>0\ \forall a\]
i valori di \(x\) che annullano il trinomio sono
\[{{x}_{1,2}}=\frac{{{a}^{2}}-2\pm \left( {{a}^{2}}+2 \right)}{2a}\to {{x}_{1}}=a,\quad {{x}_{2}}=-\frac{2}{a}\]
per cui concludiamo che, per \(a\neq 0\):
se \(a>0\) si ha \(S= \{x<-2/a \vee x>a\} \);
se \(a<0\) si ha \(S= \{a<x<-2/a\} \).
Massimo Bergamini