Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Professore , volevo farle vedere quest’altro quesito:
Un rettangolo, ruotando successivamente di un giro completo intorno alla sua base ed alla sua altezza, genera due cilindri, la somma dei volumi dei quali è tripla del volume della sfera di raggio \(a\). Sapendo che \(2p\) è il perimetro del rettangolo, calcolare la base e l’altezza del rettangolo. Professore, posso assumere costanti come dati ? Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Elisa,
certo, possiamo assumere come assegnate le costanti \(a\) e \(2p\): cerchiamo di capire per quali valori di tali costanti il problema ammette o meno soluzione. Detta \(x\) la misura di uno dei due lati del rettangolo, con \(0< x <p\), ovviamente l’altro lato misura \(p-x\) e il volume totale \(V\), somma dei volumi dei due cilindri, è dato da:
\[V=\pi {{x}^{2}}\left( p-x \right)+\pi x{{\left( p-x \right)}^{2}}=\pi xp\left( p-x \right)\]
per cui l’equazione da soddisfare risulta:
\[\pi xp\left( p-x \right)=3\frac{4}{3}\pi {{a}^{3}}\Rightarrow p{{x}^{2}}-{{p}^{2}}x+4{{a}^{3}}=0\]
Formalmente, le soluzioni di questa equazione sono:
\[{{x}_{1,2}}=\frac{{{p}^{2}}\pm \sqrt{{{p}^{4}}-16p{{a}^{3}}}}{2p}\]
ma ovviamente dobbiamo controllare il rispetto delle condizioni di accettabilità, cioè che \(x\) esista come numero reale e che sia \(0< x <p\). L’esistenza implica \(p^4-16pa^3\geq 0\), cioè \(p/a\ge 2\cdot \sqrt[3]{2}\). La soluzione
\[{{x}_{1}}=\frac{{{p}^{2}}+\sqrt{{{p}^{4}}-16p{{a}^{3}}}}{2p}\]
è sicuramente positiva, e anche tale che \(x_1<p\) per ogni valore accettabile di \(p\) ed \(a\), infatti:
\[\frac{{{p}^{2}}+\sqrt{{{p}^{4}}-16p{{a}^{3}}}}{2p}<p\leftrightarrow \sqrt{{{p}^{4}}-16p{{a}^{3}}}<{{p}^{2}}\leftrightarrow -16p{{a}^{3}}<0\quad .\]
Anche la soluzione
\[{{x}_{2}}=\frac{{{p}^{2}}-\sqrt{{{p}^{4}}-16p{{a}^{3}}}}{2p}\]
purchè esista, è sempre accettabile, essendo \(x_2>0\) in quanto, come visto, \(\sqrt{{{p}^{4}}-16p{{a}^{3}}}<{{p}^{2}}\), ed essendo anche \(x_2<p\):
\[\frac{{{p}^{2}}-\sqrt{{{p}^{4}}-16p{{a}^{3}}}}{2p}<p\leftrightarrow \sqrt{{{p}^{4}}-16p{{a}^{3}}}>-{{p}^{2}}\]
risultato che poteva facilmente dedursi da una considerazione di simmetria: le due soluzioni rappresentano i due possibili valori di un lato del rettangolo, cioè i due lati di uno stesso rettangolo scambiati tra loro: infatti \(x_2=p-x_1\), come puoi verificare, per cui se è accettabile l’una lo deve essere anche l’altra. In conclusione, il problema ammette una soluzione, a meno dello scambio dei lati del rettangolo, per ogni coppia di valori di \(a\) e \(p\) tali che
\[p/a > 2\cdot \sqrt[3]{2}\;\;\;.\]
Massimo Bergamini