Ricevo da Pietro la seguente domanda:
Buonasera, ho un problema a risolvere questo integrale indefinito:
\[\int{\frac{3x+1}{4{{x}^{2}}-4x+1}\,dx}\quad .\]
E comunque, in generale, ho un problema con l’integrazione di funzioni simili a questa, con il discriminante uguale a 0, e al numeratore un polinomio in \(x\).
La ringrazio veramente tanto!
Gli rispondo così:
Caro Pietro,
senza addentrarmi per ovvi motivi nella teoria completa dell’integrazione delle funzioni razionali fratte, direi che questo tipo di integrale è riducibile in generale alla somma di due cosiddetti fratti semplici, trovando due costanti \(A\) e \(B\) tali che la funzione integranda possa essere riscritta in questo modo:
\[\frac{3x+1}{4{{x}^{2}}-4x+1}\,=\frac{3x+1}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}=\frac{A}{\left( 2x-1 \right)}+\frac{B}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}\]
cioè:
\[\frac{A}{\left( 2x-1 \right)}+\frac{B}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}=\frac{2Ax-A+B}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}=\frac{3x+1}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}\leftrightarrow 2A=3\wedge -A+B=1\to \]
\[\to A=\frac{3}{2}\wedge B=\frac{5}{2}\]
Pertanto, l’integrale in questione si trasforma e si risolve in questo modo:
\[\int{\frac{3x+1}{4{{x}^{2}}-4x+1}\,dx}=\frac{3}{2}\int{\frac{1}{2x-1}\,dx+}\frac{5}{2}\int{\frac{1}{{{\left( 2x-1 \right)}^{2}}}\,dx=\frac{3}{4}\ln \left( 2x-1 \right)-}\frac{5}{4\left( 2x-1 \right)}+c\quad .\]
Massimo Bergamini