Ricevo da Gianmarco la seguente domanda:
Caro professore, ho incontrato alcune difficoltà nello svolgimento dei seguenti integrali:
\[\int\limits_{-1}^{2}{\left( x-3\left| x \right| \right)}\,dx\quad \quad \quad \int\limits_{4}^{5}{{{x}^{2}}\sqrt{x-4}\,dx}\]
Cordiali saluti e grazie per la pazienza
Gli rispondo così:
Caro Gianmarco,
il primo integrale si può scrivere come somma di due integrali, in modo da liberarsi del valore assoluto, tenendo ovviamente conto del fatto che \(|x|=x\) se \(x\geq 0\), \(|x|=-x\) se \(x < 0\):
\[\int\limits_{-1}^{2}{\left( x-3\left| x \right| \right)}\,dx=\int\limits_{-1}^{0}{4x}\,dx-\int\limits_{0}^{2}{2x}\,dx=\left[ 2{{x}^{2}} \right]_{-1}^{0}-\left[ {{x}^{2}} \right]_{0}^{2}=-6\quad .\]
Il secondo integrale si può risolvere con una sostituzione: \(t=\sqrt{x-4}\), che implica \(x=t^2+4\) e \(dx=2tdt\), per cui:
\[\int\limits_{4}^{5}{{{x}^{2}}\sqrt{x-4}\,dx}=2\int\limits_{0}^{1}{{{\left( {{t}^{2}}+4 \right)}^{2}}{{t}^{2}}\,dt=}2\int\limits_{0}^{1}{\left( {{t}^{6}}+8{{t}^{4}}+16{{t}^{2}} \right)\,dt=2\left[ \frac{{{t}^{7}}}{7}+\frac{8{{t}^{5}}}{5}+\frac{16{{t}^{3}}}{3} \right]_{0}^{1}}=\frac{1486}{105}\quad .\]
Massimo Bergamini