Ricevo da Federico la seguente domanda:
Salve Professore,
mi chiedevo come sia possibile trovare i vertici di una funzione omografica
\[y=\frac{ax+b}{cx+d}\quad .\]
Esiste una formula generale o dipende dai singoli casi?
La ringrazio per l’attenzione.
Gli rispondo così:
Caro Federico,
possiamo provare a trovarla, una formula, anche se dubito della sua utilità, dal momento che, una volta trovato il centro dell’iperbole equilatera che rappresenta il grafico della funzione omografica (centro individuato dall’intersezione degli asintoti), basta tracciare gli assi di simmetria, cioè le rette di pendenza \(\pm1\) passanti per il centro, e metterle a sistema con l’equazione dell’iperbole: una delle due incontra sicuramente l’iperbole stessa, in due punti che sono per definizione i suoi vertici.
Ricordando che, nell’ipotesi \(c\neq 0\), gli asintoti si incontrano nel punto \(C(-d/c,a/c)\), centro di simmetria dell’iperbole, effettuando una traslazione di vettore \((d/c,-a/c)\) si ottiene un’iperbole isometrica a quella data, con centro in \((0,0)\) e assi di simmetria le bisettrici dei quadranti \(y=\pm x\).
\[y=\frac{ax+b}{cx+d}\to y=\frac{a\left( x-d/c \right)+b}{c\left( x-d/c \right)+d}-\frac{a}{c}=\frac{bc-ad}{{{c}^{2}}x}\]
Questa iperbole incontra o l’una o l’altra delle rette \(y=\pm x\), e comunque nei punti di ascissa
\[x=\pm \frac{\sqrt{\left| bc-ad \right|}}{\left| c \right|}\]
cui corrispondono, in un ordine che dipende dal segno di \(bc-ad\) (se positivo è lo stesso, se negativo è l’opposto), ordinate uguali
\[y=\pm \frac{\sqrt{\left| bc-ad \right|}}{\left| c \right|}\quad .\]
Se ora applichiamo la traslazione di vettore \((-d/c,a/c)\), otteniamo le coordinate dei vertici dell’iperbole originale:
\[\left( -\frac{d}{c}\pm \frac{\sqrt{\left| bc-ad \right|}}{\left| c \right|};\frac{a}{c}\pm \frac{\sqrt{\left| bc-ad \right|}}{\left| c \right|} \right)\]
tenendo presente la combinazione di segni suddetta.
Massimo Bergamini