Ricevo da Jo la seguente domanda:
Gentile Prof.Bergamini,
ho avuto dei problemi con il calcolo di due limiti (manuale blu u181 n°418-419):
\[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln x}{\ln \left( x+2 \right)}\quad \quad \quad \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x}{\ln \left( 1+4{{x}^{4}} \right)}\]
Cordiali saluti
jo
Grazie
Gli rispondo così:
Caro(a) Jo,
per quanto riguarda il primo limite, ti invito a guardare l’articolo del 22/10 scorso (“Un limite”) in cui rispondo a Davide esattamente in relazione all’es. n.418.
L’altro limite si può calcolare facendo intervenire alcuni limiti notevoli:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x}{\ln \left( 1+4{{x}^{4}} \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}x \right)/\left( 4{{x}^{4}} \right)}{\ln \left( 1+4{{x}^{4}} \right)/\left( 4{{x}^{4}} \right)}=\]
\[=\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{{{x}^{2}}}/\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1+4{{x}^{4}} \right)}{4{{x}^{4}}}=\frac{1}{2}\cdot 1/1=\frac{1}{2}\quad .\]
Massimo Bergamini