Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, oggi mia sorella mi ha portato un quesito che in classe non hanno saputo risolvere, è sul luogo geometrico:
Considerata la circonferenza con centro in \(O\) passante per il punto \(A(-1,0)\) siano \(B\) un punto della circonferenza, \(C\) la sua proiezione sull’asse delle ordinate, \(P\) il punto di intersezione delle rette \(AC\) e \(OB\). Scrivi l’equazione del luogo descritto dal punto \(P\) al variare di \(B\) sulla circonferenza. Riconoscere tale luogo e calcolare l’area delimitata dalla curva con l’asse delle \(y\) e l’area del triangolo mistilineo delimitato dalla curva e dalle rette ad essa tangenti condotte dai suoi punti d intersezione con l’asse delle \(y\).
All’inizio ho dedotto che la circonferenza ha equazione \(x^2+y^2=1\) e poi come si va avanti? Può farmi vedere come viene calcolata l’area, e come si fa a trovare l’equazione del luogo?
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
innanzitutto osserviamo che il luogo in questione sarà sicuramente simmetrico rispetto all’asse \(x\), pertanto possiamo considerare il punto \(B\), che appartiene alla circonferenza di equazione \(x^2+y^2=1\), nel solo semipiano delle ordinate positive ed estendere poi per simmetria il risultato all’altro semipiano. Sia \(k\) l’ascissa di \(B\): la sua ordinata (positiva) è quindi \(\sqrt{1-k^2}\), che è anche l’ordinata del punto \(C\) proiezione di \(B\) sull’asse \(y\). Osserviamo che per \(k=\pm 1\), cioè per \(B\) appartenente all’asse \(x\), il problema è indeterminato, poiché in entrambi i casi le rette le rette \(OB\) e \(AC\) coincidono entrambe con l’asse \(x\); per \(k=0\), invece, abbiamo che la retta \(OB\) coincide con l’asse \(y\), e \(B=C=P\). Ipotizzando per ora \(k\neq -1\) e \(k\neq 0\), le rette \(AC\) e \(OB\) hanno rispettivamente le seguenti equazioni:
\[y=\frac{\sqrt{1-{{k}^{2}}}}{k}x\quad \quad y=\frac{\sqrt{1-{{k}^{2}}}}{k+1}\left( x+1 \right)\]
e risolvendo il sistema che ne rappresenta l’intersezione si hanno le coordinate del punto \(P\):
\[\left\{ \begin{array}{ll} x=\frac{k}{1-k} \\ y=\frac{\sqrt{1-k^2}}{1-k} \end{array} \right.\;\;.\]
Per trovare il luogo descritto dal punto \(P\) cerchiamo di eliminare il parametro \(k\) dalle precedenti equazioni, per individuare una relazione diretta tra \(x\) e \(y\); tenendo conto che per ora \(y>0\), possiamo scrivere:
\[k=\frac{x}{x+1}\wedge {{y}^{2}}=\frac{1-{{k}^{2}}}{{{\left( 1-k \right)}^{2}}}=\frac{1+k}{1-k}\to {{y}^{2}}=\frac{1+x/(x+1)}{1-x/(x+1)}=2x+1\]
cioè il luogo cercato, almeno per \(y>0\), ha equazione \(y^2=2x+1\), che è l’equazione di una parabola avente come asse di simmetria l’asse \(x\) e vertice nel punto \((-1/2,0)\). Le considerazioni fatte sulla simmetria del problema consentono di ritenere valida l’equazione anche per \(y<0\), e anche il punto \((-1/2,0)\) è accettabile come soluzione limite del caso \(B=A=(-1,0)\).
Riguardo alle aree delle due regioni in questione, per il loro calcolo è sufficiente ricordare la formula archimedea dell’area del segmento parabolico, che si dimostra equivalente ai 2/3 dell’area del rettangolo circoscritto al segmento stesso. Nel nostro caso, indicata con \(S\) l’area del segmento di parabola individuato dalla corda \(ED\), il rettangolo in cui tale segmento risulta inscritto ha dimensioni \(ED=2\) e \(VO=1/2\), per cui
\[S=\frac{2}{3}\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=\frac{2}{3}\quad .\]
Infine, poiché si verifica facilmente che le tangenti in \(D\) e \(E\) si incontrano in \(A\), l’area \(T\) del triangolo mistilineo si ricava semplicemente per sottrazione di \(S\) dall’area del triangolo \(ADE\):
\[T=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\quad .\]
Massimo Bergamini