Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Professore, ho provato a fare anche quest’altro quesito, ma non riesco a costruire la figura :
Segare una sfera di raggio \(r\) con un piano in maniera che la somma delle aree della maggiore delle due calotte così ottenute e della superficie laterale del cono tangente alla sfera e avente per base il cerchio sezione stia nel rapporto \(k\) con l’area della sezione. Discussione. Successivamente si studi la variazione del predetto rapporto \(k\) in funzione della distanza del piano secante dal centro e, disegnato il grafico relativo, si ritrovino i risultati ottenuti con la discussione algebrica.
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la considerazione preliminare da fare sulla figura è che la sezione \(OAV\) è un triangolo rettangolo, essendo \(V\) il vertice del cono e \(A\) il punto di tangenza dell’apotema del cono con la sfera, pertanto, detta \(x\) la distanza \(OH\) tra il centro della sfera e il piano secante, con \(0\leq x \leq r\), si ha:
\[AH=\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}\quad \quad AV=\frac{r\sqrt{{{r}^{2}}-{{x}^{2}}}}{x}\quad \quad HK=r-x\]
Poiché la calotta sferica minore ha superficie \(2\pi\cdot r\cdot HK=2\pi r(r-x)\), mentre la superficie laterale del cono è data dal semiprodotto di circonferenza di base e apotema, l’equazione ipotizzata risulta:
\[\frac{4\pi {{r}^{2}}-2\pi r\left( r-x \right)+\frac{\pi r\left( {{r}^{2}}-{{x}^{2}} \right)}{x}}{\pi {{r}^{2}}}=k\Rightarrow {{x}^{2}}+2rx+{{r}^{2}}-kr=0\quad .\]
Si può porre, senza perdere generalità, \(r=1\), per cui l’equazione risulta equivalente al seguente sistema parametrico:
\[\left\{ \begin{array}{lll} y=x^2 \\ y=-2x+k-1 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{array} \right.\;\;.\]
Si conclude facilmente che il problema ammette una soluzione per \(1\leq k \leq 4\).
La funzione che esprime il rapporto esaminato in termini della distanza \(x\) è quindi
\[y={{x}^{2}}+2x+1\]
che, nell’intervallo di accettabilità di \(x\), cioè \(0\leq x \leq 1\), assume (una sola volta) valori compresi tra 1 e 4, coerentemente con quanto concluso in precedenza.
Massimo Bergamini