Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, mia sorella ha fatto il compito di matematica sulle coniche, vorrei verificare se è stato fatto bene: Trovare la circonferenza \(\gamma\) tangente alla retta \(t\) di equazione \(3x-4y+25=0\) in \(T(-3,4)\) e passante per \(R(0,5)\). Indicati con \(A\) e \(B\) i punti di intersezione di \(\gamma\) con i semiassi rispettivamente delle ascisse e delle ordinate positive, scrivere l’equazione del luogo descritto dall’ortocentro dei triangoli \(OAP\) al variare di \(P\) sulla tangente a gamma in \(B\). Riconoscere il luogo ottenuto e rappresentarlo.
Professore la ringrazio infinitamente, attendo una sua risposta.
Grazie mille
Elisa
Le rispondo così:
Cara Elisa,
per individuare la circonferenza \(\gamma\) possiamo procedere in questo modo: poichè \(TR\) è una sua corda, l’asse di \(TR\) ne contiene il centro \(O\), ma \(O\) appartiene anche alla perpendicolare in \(T\) alla tangente \(t\), quindi \(O\) è l’intersezione delle due rette:
\[\left\{ \begin{array}{ll} y=-\frac{1}{3}x \\ y=-\frac{4}{3}x \end{array} \right.\]
cioè il centro di \(\gamma\) è l’origine \(O(0,0)\) del riferimento, ed essendo \(RO=5\) si ha l’equazione:
\[\gamma :\quad {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25\quad .\]
Di conseguenza, essendo \(A(5,0)\) e \(B(0,5)\), la retta tangente in \(B\) a \(\gamma\) è la parallela all’asse \(x\) per \(B\), cioè \(y=5\); indichiamo un punto \(P\) di tale retta come \(P(k,5)\). L’ortocentro \(H\) si può trovare come intersezione della retta \(x=k\) e della perpendicolare per \(A\) al segmento \(PO\), cioè \(y=-kx/5+k\), per cui:
\[H\left( k,-\frac{{{k}^{2}}}{5}+k \right)\to y=-\frac{{{x}^{2}}}{5}+x\]
cioè il luogo descritto da \(H\) al variare di \(P\) è una parabola di asse \(x=5/2\), passante per \(O\) e per \(A\), con concavità rivolta verso il basso.
Massimo Bergamini