Ricevo da Roberta la seguente domanda:
Buonasera prof. Bergamini.
Ho trovato difficoltà nella risoluzione del seguente esercizio:
Dato il fascio di parabole
\[y=k{{x}^{2}}+\left( 2k+1 \right)x+2\]
come posso trovare i punti base considerando che la \(y\) non si annulla attraverso il sistema fra le due generatrici del fascio?
La ringrazio anticipatamente per la sua attenzione.
Cordiali saluti
Roberta
Le rispondo così:
Cara Roberta,
non so se ho capito bene il tuo problema, ma ti invito ad osservare l’espressione del fascio riscritta in modo da mettere in evidenza le generatrici:
\[x-y+2+k\left( {{x}^{2}}+2x \right)=0\quad .\]
La particolarità di questo fascio sta nel fatto che le generatrici sono anche gli elementi cosiddetti degeneri del fascio stesso, cioè sono rette e non parabole: infatti, per \(k=0\) si ottiene la retta \(y=x+2\), mentre per \(k=\infty\) si “ottiene” (per meglio dire si tende ad ottenere) la coppia di rette \(x(x+2)=0\), cioè \(x=0\) e \(x=-2\): i punti base sono pertanto le intersezioni di queste due generatrici:
\[A\left( -2,0 \right)\quad \quad B\left( 0,2 \right)\quad .\]
Massimo Bergamini