Ricevo da Rosy la seguente domanda:
Egregio professore, mi potrebbe gentilmente almeno impostare i problemi 456-458-459 di pagina u184 del manuale blu di matematica?
Grazie mille in anticipo
Le rispondo così:
Cara Rosy,
nel primo caso, una volta trovati i punti \(A(10/3,8/3)\) e \(B(2,0)\), detta \(x\) l’ascissa di \(P\), si ha
\[PH=\sqrt{{{x}^{2}}-4}\quad PK=\frac{\left| 2x-\sqrt{{{x}^{2}}-4}-4 \right|}{\sqrt{5}}\]
per cui si ha
\[\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{PK}{PH}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| 2x-\sqrt{{{x}^{2}}-4}-4 \right|}{\sqrt{5}\sqrt{{{x}^{2}}-4}}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| 2\left( x-2 \right)/\sqrt{{{x}^{2}}-4}-1 \right|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\quad .\]
Nel secondo esercizio, essendo \(A(2,0)\) e \(B(0,3)\), analogamente a quanto visto per il primo, si ha:
\[PH=\left| x-2 \right|\quad PK=\frac{3\left| x-\sqrt{4-{{x}^{2}}}-2 \right|}{\sqrt{13}}\]
per cui si ha
\[\underset{P\to A}{\mathop{\lim }}\,\frac{PK}{PH}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{3\left| x-\sqrt{4-{{x}^{2}}}-2 \right|}{\sqrt{13}\left| x-2 \right|}=\underset{x\to 2}{\mathop{\lim }}\,\frac{3\left| 1+\sqrt{4-{{x}^{2}}}/\left( 2-x \right) \right|}{\sqrt{13}}=+\infty \quad .\]
Nel terzo caso, è sufficiente osservare che i triangoli hanno entrambi base \(AO=2\) mentre le altezze relative a tale base sono i segmenti di ordinata delle due funzioni corrispondenti all’ascissa \(h\) comune a \(Q\) e a \(R\), per cui
\[\underset{h\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{area(AOQ)}{area(AOR)}=\underset{h\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| \left( 1-2h \right)/\left( h+1 \right) \right|}{\left| 3h/\left( h+1 \right) \right|}=\underset{h\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{1-2h}{3h} \right|=\frac{2}{3}\quad .\]
Massimo Bergamini