Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, può aiutarmi a risolvere quest’altro quesito?
Due circonferenze di raggi \(R\) ed \(r\) (\(R > r\)) sono tangenti internamente. Trovare sopra la tangente comune un punto tale che le tangenti condotte per esso alle due circonferenze formino un angolo dato \(\gamma\). A quale condizione deve essere sottoposto \(\gamma\) affinché il problema sia possibile? Si osservi che la differenza degli angoli che la tangente comune, forma con le congiungenti il punto che si cerca coi centri dei circoli, eguaglia la metà di \(\gamma\).
Attendo una vostra risposta, grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
posto \(x=DP\), osservando i triangoli rettangoli \(DO_2P\) e \(DO_1P\) concludiamo che i loro angoli in \(P\) hanno tangenti pari rispettivamente a \(R/x\) e a \(r/x\), per cui, essendo \({{O}_{1}}\hat{P}{{O}_{2}}=\gamma /2\), abbiamo
\[\tan \left( \frac{\gamma }{2} \right)=\frac{R/x-r/x}{1+Rr/{{x}^{2}}}=\frac{\left( R-r \right)x}{{{x}^{2}}+Rr}\]
da cui
\[\tan \left( \frac{\gamma }{2} \right){{x}^{2}}-\left( R-r \right)x+Rr\tan \left( \frac{\gamma }{2} \right)=0\]
che ammette soluzioni
\[{{x}_{1,2}}=\frac{\left( R-r \right)\pm \sqrt{{{\left( R-r \right)}^{2}}-4Rr{{\tan }^{2}}\left( \gamma /2 \right)}}{2\tan \left( \gamma /2 \right)}\]
solo se
\[{{\left( R-r \right)}^{2}}-4Rr{{\tan }^{2}}\left( \frac{\gamma }{2} \right)\ge 0\to {{\tan }^{2}}\left( \frac{\gamma }{2} \right)\le \frac{{{\left( R-r \right)}^{2}}}{4Rr}\]
la quale, posto \({{\tan }^{2}}\left( \gamma /2 \right)={{\sin }^{2}}\left( \gamma /2 \right)/\left( 1-{{\sin }^{2}}\left( \gamma /2 \right) \right)\), può essere scritta così:
\[\sin \left( \frac{\gamma }{2} \right)\le \frac{R-r}{R+r}\quad .\]
Alla stessa conclusione si sarebbe potuti arrivare per via geometrica, osservando che il luogo dei punti che vedono il segmento \(O_1O_2\) sotto un angolo \(\gamma/2\) è un arco di circonferenza che ha il centro sull’asse del segmento stesso; un punto \(P=F\) di tale arco può appartenere anche alla retta \(t\) tangente in \(D\) solo se il raggio \(CF=(R-r)/(2\sin(\gamma/2))\) della circonferenza a cui tale arco appartiene è pari almeno alla distanza \(DM\), essendo \(M\) il punto medio del segmento \(O_1O_2\) (e quindi il centro \(C\) appartiene, oltre che all'asse di \(O_1O_2\), anche alla parabola di fuoco \(O_1\) e direttrice la retta \(t\)), cioè se
\[\frac{R-r}{2\sin \left( \gamma /2 \right)}\ge r+\frac{R-r}{2}\to \sin \left( \gamma /2 \right)\le \frac{R-r}{R+r}\quad .\]
Si noti che alle soluzioni \(x_1\) e \(x_2\), entrambe accettabili e entrambe positive, quindi entrambe appartenenti ad una delle due semirette definite da \(D\) sulla retta tangente, corrispondono altre due soluzioni simmetriche rispetto a \(D\), sull’altra semiretta: pertanto, per ogni valore di \(\gamma\) tale che
\[\gamma \le 2\arcsin \left( \frac{R-r}{R+r} \right)\]
si hanno quattro possibili posizioni di \(P\) sulla retta \(t\) che soddisfano la richiesta del problema.
Massimo Bergamini