Ricevo da Laura la seguente domanda:
Gentile professore;
potrebbe aiutarmi a risolvere il problema seguente? Si trova a pag.209U e dice:
Data una circonferenza di raggio \(r\) e una sua corda \(AB\) a distanza \(r/2\) dal centro \(O\), indica con \(M\) il punto medio del maggiore dei due archi \(AB\) e con \(P\) un generico punto dello stesso arco. Determina il limite cui tende il rapporto tra l'area del triangolo \(APB\) e il quadrato di lato \(AP\) quando \(P\) tende a \(M\). Determina poi il limite cui tende il rapporto tra il perimetro del triangolo \(APB\) e il lato \(BP\) quando \(P\) tende a \(M\).
Grazie mille per il suo aiuto.
Le rispondo così:
Cara Laura,
innanzitutto stabiliamo facilmente che \(AB=\sqrt{3}r\), cioè \(AB\) è il lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza, e anche che l’angolo in \(P\) misura \(\pi/3\) per qualsiasi posizione di \(P\) sull’arco \(AB\). Quindi, detto \(x\) l’angolo \(ABP\), si ha che il limite per \(P\) che tende a \(M\) equivale al limite per \(x\) che tende a \(\pi/3\). Il teorema della corda consente di scrivere:
\[AP=2r\sin x\quad PB=2r\sin \left( \frac{\pi }{3}+x \right)\]
quindi l’area di \(APB\) è
\[\frac{1}{2}AB\cdot PB\cdot \sin x=\sqrt{3}{{r}^{2}}\sin x\sin \left( \frac{\pi }{3}+x \right)\]
e il rapporto con l’area del quadrato di lato \(AP\) è tale che
\[\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3}{{r}^{2}}\sin x\sin \left( \pi /3+x \right)}{4{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}x}=\frac{\sqrt{3}\left( \sqrt{3}/2 \right)\left( \sqrt{3}/2 \right)}{4{{\left( \sqrt{3}/2 \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{4}\quad .\]
Riguardo al rapporto tra perimetro di \(APB\) e lato \(BP\), si ha:
\[\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3}r+2r\sin x+2r\sin \left( \pi /3+x \right)}{2r\sin \left( \pi /3+x \right)}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=3\quad .\]
Massimo Bergamini