Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, può aiutarmi a risolvere questo quesito?
Dato il triangolo equilatero di lato \(2a\) si conduca per \(A\) una semiretta \(s\) che incontra in \(P\) il prolungamento del lato \(BC\), dalla parte di \(C\). La bisettrice dell’angolo \(APC\) incontra il lato \(AB\) nel punto \(D\). Determinare la posizione di \(s\) in modo che risulti minimo il rapporto \(BP/BD\).
Attendo una vostra risposta, grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
osserviamo innanzitutto che, per il teorema della bisettrice, \(BP:BD=AP:AD\). Quindi, detto \(x\) l’angolo \(PAC\), con \(0\leq x< \pi/3\), osserviamo che l’angolo \(APC\) misura \(\pi/3-x\), e quindi l’angolo \(ADP\) misura \(\pi/2-x/2\); applicando il teorema dei seni al triangolo \(APD\) otteniamo subito:
\[\frac{BP}{BD}=\frac{AP}{AD}=\frac{\sin \left( \pi /2-x/2 \right)}{\sin \left( \pi /6-x/2 \right)}\]
Posto \(y=\pi/6-x/2\), e quindi \(0 < y \leq \pi/6\), abbiamo
\[\frac{BP}{BD}=\frac{\sin \left( \pi /3+y \right)}{\sin y}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cot y+\frac{1}{2}\]
ed essendo \(0 < y \leq \pi/6\), il valore minimo che può assumere \(\cot y\) è \(\sqrt{3}\), quando \(y=\pi/6\), cioè quando \(x=0\): il punto \(P\) coincide con \(C\).
Massimo Bergamini