Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro Professore, volevo sapere come si risolve questo quesito esso dice: Nel triangolo rettangolo \(ABC\) il punto \(O\) dell’ipotenusa \(AB\) è tale che \(AO/OB=3/4\). La parallela ad \(AC\) condotta da \(O\) interseca \(BC\) in \(P\) e la parallela a \(BC\) condotta da \(O\) interseca \(AC\) in \(Q\). Sapendo che il trapezio \(AOPC\) è circoscritto ad una semicirconferenza \(\gamma\) avente il centro su \(AC\), determinare il rapporto \(AB/AC\) e verificare che il trapezio \(OBQC\) è circoscrittibile ad una circonferenza \(\gamma^\prime\). Sapendo che il raggio della semicirconferenza \(\gamma\) supera il raggio della circonferenza \(\gamma^\prime\) di \(cm\;9\), determinare il perimetro del triangolo dato.
Attendo una vostra risposta, grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
poniamo
\[AO=3a,\ AQ=3b,\ QO=3c\]
con \(a\), \(b\) e \(c\) da determinare ma tali che, in base all’ipotesi e a semplici similitudini:
\[OB=4a,\ QC=4b,\ CB=7c\quad .\]
La condizione che il trapezio \(AOPC\) circoscriva una semicirconferenza di centro in un punto \(M\) di \(AC\) implica che il suo raggio \(MF\) sia congruente a \(MC=MR=QO=3c\); ma osservando la congruenza dei triangoli rettangoli \(AQO\) e \(AMF\), ed in particolare \(AM=AO\), concludiamo che si deve avere:
\[CA-AM=CM\to 7b-3a=3c\to c=\frac{7}{3}b-a\quad .\]
Combinando questa relazione con la relazione pitagorica \(c^2=a^2-b^2\), si ottiene:
\[{{\left( \frac{7}{3}b-a \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\to {{\left( \frac{7}{3}-\frac{a}{b} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}-1\to \frac{a}{b}=\frac{AB}{AC}=\frac{29}{21}\quad .\]
Detta \(u\) un’unità da determinare, si ha quindi che \(a=29u\), \(b=21u\), \(c=20u\), per cui:
\[QO+CB=10c=200u=4b+4a=QC+OB\]
e questo dimostra il fatto che il trapezio \(QOBC\) ammette una circonferenza inscritta.
Infine, la condizione \(MF=SN+9\) determina \(u\), poiché:
\[\frac{60}{7}u=6u+9\to u=\frac{7}{2}\]
da cui:
\[AB+CB+AC=\frac{7}{2}\left( 29+21+20 \right)=245\ c{{m}^{2}}\quad .\]
Massimo Bergamini