MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Un problema di geometria

Un problema di geometria

Disciplina: Matematica Geometria euclidea 
di Massimo Bergamini, 30 Novembre 2010
Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro Professore, volevo sapere come si risolve questo quesito esso dice: Nel triangolo rettangolo \(ABC\) il punto \(O\) dell’ipotenusa \(AB\) è tale che \(AO/OB=3/4\). La parallela ad \(AC\) condotta da \(O\) interseca \(BC\) in \(P\) e la parallela a \(BC\) condotta da \(O\) interseca \(AC\) in \(Q\). Sapendo che il trapezio \(AOPC\) è circoscritto ad una semicirconferenza \(\gamma\) avente il centro su \(AC\), determinare il rapporto \(AB/AC\) e verificare che il trapezio \(OBQC\) è circoscrittibile ad una circonferenza \(\gamma^\prime\). Sapendo che il raggio della semicirconferenza \(\gamma\) supera il raggio della circonferenza \(\gamma^\prime\) di \(cm\;9\), determinare il perimetro del triangolo dato.
Attendo una vostra risposta, grazie mille.
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
poniamo
                                                                  \[AO=3a,\ AQ=3b,\ QO=3c\]
con \(a\), \(b\) e \(c\) da determinare ma tali che, in base all’ipotesi e a semplici similitudini:
\[OB=4a,\ QC=4b,\ CB=7c\quad .\]
La condizione che il trapezio \(AOPC\) circoscriva una semicirconferenza di centro in un punto \(M\) di \(AC\) implica che il suo raggio \(MF\) sia congruente a \(MC=MR=QO=3c\); ma osservando la congruenza dei triangoli rettangoli \(AQO\) e \(AMF\), ed in particolare \(AM=AO\), concludiamo che si deve avere:
                                               \[CA-AM=CM\to 7b-3a=3c\to c=\frac{7}{3}b-a\quad .\]
Combinando questa relazione con la relazione pitagorica \(c^2=a^2-b^2\), si ottiene:
\[{{\left( \frac{7}{3}b-a \right)}^{2}}={{a}^{2}}-{{b}^{2}}\to {{\left( \frac{7}{3}-\frac{a}{b} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{2}}}-1\to \frac{a}{b}=\frac{AB}{AC}=\frac{29}{21}\quad .\]
Detta \(u\) un’unità da determinare, si ha quindi che \(a=29u\), \(b=21u\), \(c=20u\), per cui:
                                                           \[QO+CB=10c=200u=4b+4a=QC+OB\]
e questo dimostra il fatto che il trapezio \(QOBC\) ammette una circonferenza inscritta.
Infine, la condizione \(MF=SN+9\) determina \(u\), poiché:
                                                           \[\frac{60}{7}u=6u+9\to u=\frac{7}{2}\]
da cui:
                                   \[AB+CB+AC=\frac{7}{2}\left( 29+21+20 \right)=245\ c{{m}^{2}}\quad .\]
Massimo Bergamini
Tag: circonferenza, trapezio, triangolo rettangolo


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl