Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, volevo proporle quest’altro quesito:
Nel triangolo acutangolo \(ABC\) sia \(D\) il punto in cui la mediana \(BM\) relativa al lato \(AC\) interseca la mediana \(CN\) relativa al lato \(AB\) e sia \(E\) il punto in cui la retta condotta da \(C\) perpendicolarmente a \(BM\) interseca \(AB\). Il rettangolo di lati \(AB\) ed \(AE\) è equivalente al doppio del quadrato costruito su \(CD\); la somma dei rettangoli aventi per lati l’uno i segmenti \(AB\) e \(CD\) e l’altro \(AE\) e \(CD\), è equivalente al rettangolo di lati \(BM\) e \(CE\). Sapendo che \(CE\) è bisettrice dell’angolo \(ACN\) e che \(CD=4\sqrt{7}\;cm\) e che l’area del quadrangolo \(BEMC\) è \(cm^2\;\;72\sqrt{7}\), determinare la lunghezza dei segmenti \(AB\), \(AE\), ed \(EN\). Professore attendo una vostra risposta, vorrrei davvero capire come si imposta l’equazione, grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
poniamo \(x=EN\), \(y=AE\), per cui \(AB=2(x+y)\), e osserviamo che, in base alle ipotesi, il quadrangolo \(BEMC\), avendo le diagonali perpendicolari, ha un’area pari al semiprodotto delle diagonali stesse, per cui \(BM\cdot CE=144\sqrt{7}\).
Dalle condizioni \(AB\cdot AE=2\cdot CD^2\) e \(AB\cdot CD+AE\cdot CD=BM\cdot CE\) si deduce così il seguente sistema di equazioni per \(x\) e \(y\):
\[\left\{ \begin{array}{ll} (x+y)y=112 \\ 2x+3y=36 \end{array}\right.\]
le cui soluzioni accettabili sono \(x=EN=6\;cm\) e \(y=AE=8\;cm\), da cui \(AB=28\;cm\).
Un’osservazione: la condizione che \(CE\) sia bisettrice dell’angolo \(ACN\) sembra superflua; o meglio, volendola utilizzare, si sarebbe potuto fare a meno di una delle due equazioni precedenti. Se infatti possiamo concludere che il triangolo \(CMD\) è isoscele, allora \(CA=2\cdot CD=8\sqrt{7}\), ed essendo \(DN=CD/2=2\sqrt{7}\) (proprietà della mediana), utilizzando il teorema della bisettrice si poteva ricavare subito che \(x:y=3:4\); combinando questa con una delle condizioni precedenti, si ottenevano le soluzioni richieste.
Massimo Bergamini