Ricevo da Rosy la seguente domanda:
Caro professore mi potrebbe aiutare con questi due problemi? (n.17 e n.18 pag. u242 Manuale Blu di Matematica)
1) Dato il triangolo isoscele inscritto in una semicirconferenza di raggio \(r\), inscrivi in tale triangolo una semicirconferenza; in questa, in scrivi un triangolo isoscele, e così via. Scrivi in funzione di \(r\) la successione delle misure dei perimetri e quella delle misure delle aree dei triangoli. Scrivi il termine generico di ciascuna successione e calcola i loro limiti.
2) Dato un segmento di misura \(a\), dividi il segmento in tre parti congruenti e sostituisci quella centrale con due segmenti in modo che questi ultimi formino con il segmento eliminato un triangolo equilatero. Ottieni così una spezzata di quattro segmenti consecutivi: a ognuno di questi, applica lo stesso procedimento, e così via. Esprimi la successione delle misure delle spezzate. Calcola la misura della somma delle lunghezze delle prime cinque spezzate.
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Rosy,
si tratta in entrambi i casi di progressioni geometriche, e quindi si deve individuare il fattore di similitudine (ragione della progressione) che sussiste tra una figura e la successiva: una volta individuato il primo termine, la successione è facilmente deducibile. Nel primo esempio, tale fattore è il rapporto \(q=C^\prime O/CO\), ma poiché \(C^\prime O=OD=CO/\sqrt{2}\), si ha \(q=\sqrt{2}/2\). Il perimetro di \(ABC\) è \(2r(1+\sqrt{2})\), pertanto la successione \(a_n\) dei perimetri, detto \(a_0\) quello di \(ABC\), è la seguente:
\[{{a}_{n}}=2r\left( 1+\sqrt{2} \right){{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{n}}\quad .\]
Se \(q=\sqrt{2}/2\) è il fattore di similitudine, l’area si modifica in ragione di \(q^2=1/2\), per cui, detta \(b_0=r^2\) l’area di \(ABC\), la successione delle aree dei triangoli è:
\[{{b}_{n}}={{r}^{2}}{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}\quad .\]
Entrambe le progressioni sono decrescenti e, come tutte le funzioni esponenziali di ragione minore di 1, tendono a \(0\) al tendere dell’esponente \(n\) ad infinito.
Il secondo problema definisce la famosa “curva di Koch”, una delle prime figure frattali che sia stata descritta. In questo caso, la progressione che esprime la lunghezza della spezzata dopo \(n\) applicazioni del procedimento descritto, è crescente, con una ragione pari a \(4/3\): infatti, si deduce facilmente che il procedimento “aggiunge” ad ogni segmento un segmento pari ad un terzo di quello originale, per cui la lunghezza risultante è \(4/3\) dell’originale. Detta \(a_0=a\) la lunghezza del segmento iniziale, dopo \(n\) passi si ha quindi una spezzata di lunghezza
\[{{a}_{n}}=a{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{n}}\]
il cui limite per \(n\) che tende a \(+\infty\) in questo caso è \(+\infty\)! Pur essendo limitata, nel senso di occupare una regione limitata del piano, la curva di Koch “completa” ha lunghezza infinita. E infinita è anche la somma delle spezzate, cioè \(a_0+a_1+a_2+….\): se ci limitiamo alle prime \(5\) abbiamo
\[a+\frac{4}{3}a+\frac{16}{9}a+\frac{64}{27}a+\frac{256}{81}a=\frac{781}{81}a\quad .\]
La cosa interessante, e facilmente dimostrabile, è che, immaginando un triangolo equilatero ai cui lati venisse applicato il procedimento di Koch, la figura che si otterebbe avrebbe, al limite, perimetro infinito ma area finita (pari a \(8/5\) dell’area del triangolo di partenza, se non vado errato…).
Massimo Bergamini