Ricevo da Adriano la seguente domanda:
Caro prof, mi potrebbe indicare come risolvere i seguenti problemi (n°14 pag u241, n°19 pag u243 Manuale Blu)?
1) Su una semiretta di origine \(P_0\) è dato il segmento \(P_0P_1\) che misura \(2\). Considera i segmenti adiacenti \(P_1P_2\), \(P_2P_3\),…,\(P_{n-1}P_n\),… tali che il rapporto tra un segmento e il suo precedente sia \(5/4\). Dopo aver costruito su ogni segmento un quadrato che abbia per lato il segmento stesso:
a) dimostra che le misure delle aree dei quadrati sono i termini di una progressione geometrica e calcolane la ragione;
b) esprimi il termine generico \(l_n\) della progressione in funzione di \(n\) e calcola il limite per \(n\to +\infty\);
calcola il perimetro e l’area dell’ottavo quadrato.
2) Dato il quadrato \(ABCD\) di lato \(l\) e sui quattro lati i punti \(A^\prime\), \(B^\prime\), \(C^\prime\), \(D^\prime\) in modo che \(AA^\prime= BB^\prime= CC^\prime= DD^\prime=l/8\), congiungi i punti in modo da ottenere un nuovo quadrato. Ripeti per questo quadrato lo stesso procedimento.
a) Determina la successione delle misure dei perimetri e quella della misura delle aree.
b) Stabilisci se sono progressioni geometriche o aritmetiche.
c) Trova il termine generico di ciascuna successione e calcola i loro limiti.
d) Calcola la somma dei primi sei termini di ciascuna successione.
Grazie in anticipo!
Gli rispondo così:
Caro Adriano,
nel primo caso, è evidente che si sta costruendo una successione di quadrati simili, con fattore di similitudine \(k=5/4\), e pertanto con un fattore di ingrandimento delle aree pari a \(k^2=25/16\), che è la ragione \(q\) della progressione geometrica delle aree stesse (per definizione, \(q\) rappresenta il rapporto costante che vi è fra un termine e il precedente): posto \(l_0=4\), area del quadrato costruito sul primo segmento \(P_0P_1\), si ha la successione:
\[{{l}_{n}}=4{{\left( \frac{25}{16} \right)}^{n}}\]
che, in quanto esponenziale di base maggiore di \(1\), tende a \(+\infty\) per \(n\to +\infty\). Facilmente poi si trova che l’ottavo quadrato, corrisponedente a \(n=7\), ha perimetro \(8(5/4)^7\) e area \(4(25/16)^7\).
Nel secondo problema, è pure evidente che si ha una successione di quadrati simili, con un fattore \(k\) di “rimpicciolimento” costante tra l’uno e l’altro, determinabile osservando la prima coppia di quadrati, in cui, essendo (Pitagora) \(A^\prime D^\prime=(5\sqrt{2}/8)l\), si ha \(k=(A^\prime D^\prime)/(AD)= 5\sqrt{2}/8\). Le progressioni dei perimetri e delle aree, \(a_n\) e \(b_n\), sono quindi progressioni geometriche di ragione \(k\) e \(k^2\), i cui termini generici sono dati da:
\[{{a}_{n}}=4l{{\left( \frac{5\sqrt{2}}{8} \right)}^{n}}\quad {{b}_{n}}={{l}^{2}}{{\left( \frac{25}{32} \right)}^{n}}\]
che ovviamente, essendo la ragione minore di \(1\), convergono a \(0\) nel limite per \(n\to +\infty\).
Poiché la somma dei primi \(n\) termini di una progressione geometrica \(a_n=a_0\cdot q^n\) è data da \(s_n=a_0(1-q^n)/(1-q)\), si determina facilmente \(s_6\) sia per la progressione dei perimetri che per quella delle aree.
Massimo Bergamini