Ricevo da Rosa la seguente domanda:
Salve professore,le sarei grata se mi aiutasse a risolvere il seguente problema (pag u209 n.28 Manuale Blu):
Considera il fascio di circonferenze
\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+kx-2\left( k-3 \right)y+4k-16=0\quad .\]
a) Determina l’asse radicale e i punti base \(A\) e \(B\) (\(A\) è quello di ascissa minore).
b) Sia \(C\) il centro della generica circonferenza e \(O\) l’origine degli assi. Calcola:
\[\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{CO}{CB}\quad \quad \underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{CO}{CB}\quad .\]
Grazie mille in anticipo.
Le rispondo così:
Cara Rosa,
il fascio può essere riscritto in modo da metterne in evidenza le generatrici:
\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6y-16+k\left( x-2y+4 \right)=0\]
e possiamo osservare che una delle due generatrici, la retta \(x-2y+4=0\), è quell’elemento degenere del fascio che rappresenta l’asse radicale, intersecando il quale con l’altra generatrice, la circonferenza \(x^2+y^2+6y-16=0\), si ricavano i punti base, \(A(-4,0)\), \(B(0,2)\).
Il centro della generica circonferenza del fascio è \(C(-k/2,k-3)\), per cui:
\[CO=\frac{\sqrt{5{{k}^{2}}-24k+36}}{2}\quad CB=\frac{\sqrt{5{{k}^{2}}-40k+100}}{2}\]
da cui
\[\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{CO}{CB}=\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{5{{k}^{2}}-24k+36}}{\sqrt{5{{k}^{2}}-40k+100}}=1\quad \underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{CO}{CB}=\sqrt{\frac{36}{100}}=\frac{3}{5}\quad .\]
Massimo Bergamini