Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, la prego ancora di aiutarci in quest’altro quesito:
Dato un trapezio rettangolo \(ABCD\) circoscritto ad una semicirconferenza avente il centro sulla base maggiore \(AB\), sia \(AP\) la proiezione del lato obliquo \(AD\) su \(AB\). Sapendo che \(CD\) è uguale al triplo del diametro del cerchio inscritto nel triangolo \(ADP\), determinare il rapporto \(AD/DP\). Sapendo che il volume del solido ottenuto dalla rotazione del trapezio attorno ad \(AB\) è \(3024\pi\), determinare l’area della superficie del solido considerato e quella della sfera in esso inscritta.
Grazie mille attendiamo una vostra risposta
Le rispondo così:
Cara Elisa,
prima di tutto osserviamo che dall’ipotesi che il trapezio sia circoscritto ad una semicirconferenza discende che i triangoli rettangoli \(OAF\) e \(PDA\) sono congruenti. Detto \(R=OF=DP=CE\) il raggio della semicirconferenza, posto \(ED=DF=x\) e \(AF=AP=y\), usando l’ipotesi che \(CD=6HI\), e il fatto che \(HI\) è uguale al rapporto tra l’area e il semiperimetro di \(APD\) (relazione vera in generale per ogni triangolo), si ha il sistema:
\[\left\{ \begin{array}{ll} (x+y)^2=R^2 \\ 6Rx=(R+y)(R+2x+y) \end{array}\right.\]
che, sostituendo la prima nella seconda, si semplifica in
\[\left\{ \begin{array}{ll} 2xy+y^2=R^2 \\ 2x=R+y \end{array}\right.\]
da cui \(x=3R/4\), \(y=R/2\), \(AD/DP=(x+y)/R=5/4\).
Si ricavano poi facilmente le espressioni del volume \(V\) e della superficie totale \(S\) del solido di rotazione:
\[V=\frac{7}{4}\pi {{R}^{3}}\quad \quad S=\frac{17}{4}\pi {{R}^{2}}\]
dalla prima delle quali, posta uguale a \(3024\pi\), si deduce che \(R=12\), per cui \(S=612\pi\) e la sfera inscritta, che ha raggio \(R\), ha quindi una superficie pari a \(576\pi\).
Massimo Bergamini