Ricevo da Mary la seguente domanda:
Caro professore, riguardo il seguente esercizio (pag u247 n.9 Manuale Blu), mi potrebbe aiutare a risolvere i punti c, d, e?
Data la funzione
\[y=\frac{\ln \left( 1-x \right)}{x}\]
a) determina il campo di esistenza;
b) ricerca e classifica i punti di discontinuità;
c) trova eventuali asintoti;
d) cerca eventuali intersezioni con la curva \(y=\frac{1}{x}\);
e) traccia il grafico possibile.
La ringrazio.
Le rispondo così:
Cara Mary,
posto che la funzione esiste in \(\left] -\infty ,1 \right[-\left\{ 0 \right\}\), dove è sempre negativa, ed ha in \(x=0\) una discontinuità eliminabile, (poiché il limite per \(x\) che tende a \(0\) esiste, pari a \(-1\), malgrado la funzione in \(x=0\) non sia definita), tenendo presente che un logaritmo in base maggiore di \(1\) è un infinito di ordine inferiore rispetto al proprio argomento quando questo tende a \(+\infty\), facilmente concludiamo che
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1-x \right)}{x}=0\quad \quad \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( 1-x \right)}{x}=\frac{-\infty }{1}=-\infty \]
cioè che \(y=0\) è asintoto orizzontale e \(x=1\) è asintoto verticale per il grafico della funzione.
Le eventuali intersezioni con la curva \(y=1/x\) sono i punti di ascissa tale che \(\ln(1-x)=1\), cioè \(x=1-e\).
Massimo Bergamini