Ricevo da Adriano la seguente domanda:
Caro professore, come si impostano i seguenti quesiti? (pag u240 nn. 1,2,4)?
1) … Calcola il seguente limite:
\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{n+1}{n-5} \right)}^{n-2}}\]
2) Calcola per \(k=1,2,3\):
\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-{{n}^{2}}}{4n-\left( 3-k \right){{n}^{k}}}\]
spiegando le regole che utilizzi.
3) Dopo aver preso in considerazione il seguente enunciato, stabilire se è vero o falso motivando esaurientemente la risposta.
Risulta: \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+2+3+…+n}{{{n}^{2}}}=0\;.\]
Grazie mille!!!!
Gli rispondo così:
Caro Adriano,
nel primo esercizio mi limito a considerare il calcolo del limite, che è riconducibile a una nota forma notevole:
\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{n+1}{n-5} \right)}^{n-2}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( {{\left( 1+\frac{1}{\left( n-5 \right)/6} \right)}^{\frac{n-5}{6}}} \right)}^{\frac{6n-12}{n-5}}}\]
e posto \(t=\frac{n-5}{6}\)
\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( \frac{n+1}{n-5} \right)}^{n-2}}={{\left( \underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{\left( 1+\frac{1}{t} \right)}^{t}} \right)}^{\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{6n-12}{n-5} \right)}}={{e}^{6}}\quad .\]
Non vedo particolari problemi nel secondo quesito:
\[k=1\to \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-{{n}^{2}}}{2n}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-n\left( 1-2/n \right)}{2}=-\infty \]
\[k=2\to \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-{{n}^{2}}}{4n-{{n}^{2}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-2/{{n}^{2}} \right)}{\left( 1-4/n \right)}=1\]
\[k=3\to \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2-{{n}^{2}}}{4n}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-n\left( 1-2/{{n}^{2}} \right)}{4}=-\infty \quad .\]
Nel terzo quesito, si deve ricordare la formula che esprime la somma dei primi \(n\) interi, \(1+2+…+n=n(n+1)/2\), per cui
\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+2+3+…+n}{{{n}^{2}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{n\left( n+1 \right)}{2{{n}^{2}}}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{n}^{2}}+n}{2{{n}^{2}}}=\frac{1}{2}\]
quindi l’enunciato è falso.
Massimo Bergamini