Ricevo da Mary la seguente domanda:
Caro professore mi aiuta gentilmente con i seguenti quesiti (pag u240 nn 5-8-9 Manuale Blu)?
1) Calcolare:
\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{3}^{n}}}{n!}\]
2) Data la successione il cui termine generale è
\[{{a}_{n}}=\frac{2-3n}{n}\ ,\ n\in \mathbb{N}-\left\{ 0 \right\}:\]
a) dimostra che è monotona decrescente;
b) calcola il \(\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}\);
c) verifica il limite mediante la definizione.
3) Considera la successione
\[f\left( n \right)=\frac{3-{{2}^{n+1}}}{2}\ ,\ n\in \mathbb{N}.\]
a) calcola \(f\left( 0 \right)\), \(f\left( 1 \right)\),\(f\left( 2 \right)\)
b) dimostra che la successione è decrescente
c) calcola il \[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( n \right)\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Mary,
nel primo quesito si ha
\[\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{3}^{n}}}{n!}=0\]
Infatti, in generale, per qualunque \(a>0\), \[\frac{{{a}^{n}}}{n!}=\frac{{{a}^{n-1}}}{\left( n-1 \right)!}\cdot \frac{a}{n}\] e poiché a partire da un \(n\) abbastanza grande si ha \(a/n<1\), ne segue che la successione è monotona decrescente, ed essendo inferiormente limitata da \(0\), converge al suo estremo inferiore, diciamo \(l\), ma allora
\[l=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{3}^{n}}}{n!}=\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{3}^{n-1}}}{\left( n-1 \right)!}\cdot \underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{3}{n}=l\cdot 0=0\quad .\]
Nel secondo quesito, si dimostra che la successione è decrescente:
\[{{a}_{n}}>{{a}_{n+1}}\to \frac{2-3n}{n}>\frac{2-3\left( n+1 \right)}{n+1}\to 2>0\]
vera per ogni \(n>0\). Il limite all’infinito è chiaramente \(-3), e la verifica non presenta difficoltà.
Nel terzo quesito, ovviamente si ha \(f(0)=1/2\), \(f(1)=-1/2\),\(f(2)=-5/2\), e la monotonia è dimostrabile come in precedenza:
\[{{a}_{n}}>{{a}_{n+1}}\to \frac{3-{{2}^{n+1}}}{2}>\frac{3-{{2}^{n+2}}}{2}\to {{2}^{n+1}}<{{2}^{n+2}}\to 2<4\]
vera per ogni \(n>0\). Poiché \(\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{2}^{n+1}}=+\infty \), si ha \(\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( n \right)=-\infty \).
Massimo Bergamini