Ricevo da Annarita la seguente domanda:
Gentile prof, ho dei problemi con questi campi di esistenza:
\[y=\left( \frac{1}{x} \right)!\]
\[y=\sqrt{\cos \left( \sin x \right)}+\arcsin \left( \frac{1+{{x}^{2}}}{2x} \right)\]
\[y=\tan \left( \frac{1}{x} \right)\]
\[y=\ln \left( \arctan \left( {{x}^{2}}-1 \right) \right)\]
in particolare con quest'ultimo come devo procedere per risolvere la disequazione?
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Annarita,
nel primo caso, se ben interpreto la tua richiesta, poiché il fattoriale ha senso solo per argomento naturale, si deve avere \(1/x=n\), con \(n\in {{\mathbb{N}}_{0}}\), cioè \(x=1/n\;,\;n\neq 0\).
Nel secondo caso, l’argomento della radice è non negativo se l’argomento del coseno è compreso tra \(-\pi/2\) e \(\pi/2\), ma questo è vero per ogni \(x\) reale, essendo che \(-1\leq \sin x\leq 1\), mentre si deve avere
\[-1\le \frac{1+{{x}^{2}}}{2x}\le 1\]
che è risolta solo per \(x=\pm 1\), i soli valori in cui è definita l’intera funzione.
Nel terzo caso, si ha:
\[\frac{1}{x}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \to x\ne \frac{2}{\pi \left( 1+2k \right)},\ k\in \mathbb{Z}\quad .\]
Infine, nell’ultimo caso, per come è definita la funzione arcotangente, la condizione \(\arctan \left( {{x}^{2}}-1 \right)>0\) equivale semplicemente alla condizione
\[{{x}^{2}}-1>0\to x<-1\vee x>1\quad .\]
Massimo Bergamini