Ricevo da Rosa la seguente domanda:
Caro prof, come posso dimostrare i seguenti quesiti (nn. 8 e 9 pag u207 Manuale Blu di Matematica)?
1) Dimostra che le misure della superficie e del volume della sfera sono entrambe infinitesimi quando la misura del raggio tende a zero e confronta gli infinitesimi.
2) È possibile, per qualche valore particolare del parametro \(k\), che le funzioni \(f(x)=kx-k\) e \(g(x)=x^2+kx-2\) siano infinitesime per \(x \to x_0\) con \(x_0\) valore comune? In caso affermativo calcola il valore di \(x_0\) e confronta gli infinitesimi.
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Rosa,
nel primo caso è ovvio che, essendo \(S=4\pi r^2\) e \(V=4\pi r^3/3\) superficie e volume della sfera di raggio \(r\), \(S(r)\) e \(V(r)\) sono infinitesimi per \(r\) che tende a \(0\), e poiché \(V/S=r/3\) tende a \(0\) per \(r\) che tende a \(0\), \(V(r)\) è di ordine superiore rispetto a \(S(r)\).
Nel secondo caso, essendo
\[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=k{{x}_{0}}-k\quad \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)={{x}_{0}}^{2}+k{{x}_{0}}-2\]
si deve avere
\[\left\{ \begin{array}{ll} kx_0-k=0 \\ {{x}_{0}}^{2}+k{{x}_{0}}-2=0 \end{array}\right.\]
da cui \(x_0=1\) e \(k=1\) come sola soluzione accettabile. Poiché \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\), si ha
\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x+2}=\frac{1}{3}\]
quindi gli infinitesimi sono dello stesso ordine.
Massimo Bergamini