Massimo BergaminiL'ESPERTO DI MATEMATICA
Altri due problemi sulle progressioni
Ricevo da Adriano la seguente domanda:
Caro prof, mi potrebbe indicare come risolvere i seguenti problemi (n°14 pag u241, n°19 pag u243 Manuale Blu)?
1) Su una semiretta di origine \(P_0\) è dato il segmento \(P_0P_1\) che misura \(2\). Considera i segmenti adiacenti \(P_1P_2\), \(P_2P_3\),…,\(P_{n-1}P_n\),… tali che il rapporto tra un segmento e il suo precedente sia \(5/4\). Dopo aver costruito su ogni segmento un quadrato che abbia per lato il segmento stesso:
a) dimostra che le misure delle aree dei quadrati sono i termini di una progressione geometrica e calcolane la ragione;
b) esprimi il termine generico \(l_n\) della progressione in funzione di \(n\) e calcola il limite per \(n\to +\infty\);
calcola il perimetro e l’area dell’ottavo quadrato.
2) Dato il quadrato \(ABCD\) di lato \(l\) e sui quattro lati i punti \(A^\prime\), \(B^\prime\), \(C^\prime\), \(D^\prime\) in modo che \(AA^\prime= BB^\prime= CC^\prime= DD^\prime=l/8\), congiungi i punti in modo da ottenere un nuovo quadrato. Ripeti per questo quadrato lo stesso procedimento.
a) Determina la successione delle misure dei perimetri e quella della misura delle aree.
b) Stabilisci se sono progressioni geometriche o aritmetiche.
c) Trova il termine generico di ciascuna successione e calcola i loro limiti.
d) Calcola la somma dei primi sei termini di ciascuna successione.
Grazie in anticipo!
Fascio di circonferenze e limiti
Ricevo da Rosa la seguente domanda:
Salve professore,le sarei grata se mi aiutasse a risolvere il seguente problema (pag u209 n.28 Manuale Blu):
Considera il fascio di circonferenze
\[{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+kx-2\left( k-3 \right)y+4k-16=0\quad .\]
a) Determina l’asse radicale e i punti base \(A\) e \(B\) (\(A\) è quello di ascissa minore).
b) Sia \(C\) il centro della generica circonferenza e \(O\) l’origine degli assi. Calcola:
\[\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{CO}{CB}\quad \quad \underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{CO}{CB}\quad .\]
Grazie mille in anticipo.
Due problemi sulle progressioni geometriche
Ricevo da Rosy la seguente domanda:
Caro professore mi potrebbe aiutare con questi due problemi? (n.17 e n.18 pag. u242 Manuale Blu di Matematica)
1) Dato il triangolo isoscele inscritto in una semicirconferenza di raggio \(r\), inscrivi in tale triangolo una semicirconferenza; in questa, in scrivi un triangolo isoscele, e così via. Scrivi in funzione di \(r\) la successione delle misure dei perimetri e quella delle misure delle aree dei triangoli. Scrivi il termine generico di ciascuna successione e calcola i loro limiti.
2) Dato un segmento di misura \(a\), dividi il segmento in tre parti congruenti e sostituisci quella centrale con due segmenti in modo che questi ultimi formino con il segmento eliminato un triangolo equilatero. Ottieni così una spezzata di quattro segmenti consecutivi: a ognuno di questi, applica lo stesso procedimento, e così via. Esprimi la successione delle misure delle spezzate. Calcola la misura della somma delle lunghezze delle prime cinque spezzate.
Grazie mille
Un problema di trigonometria
Ricevo da Piero la seguente domanda:
Caro professore, potrebbe aiutarmi con questo problema? E' data la semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) e centro \(O\). Nel triangolo \(ABC\) in essa inscritto poni l'angolo in \(A=x\). Sulla semiretta \(OC\) considera il punto \(P\) tale che \(OC=CP\). Verifica che \(PA^2+PB^2=10r^2\). Risolvi poi, nei limiti geometrici imposti dal problema, la disequazione \((PA^2)/(PB^2)\geq 2\). Determina il valore del rapporto \((PA^2)/(PB^2)\) per \(x=\pi/6\).
Grazie mille.
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