Ricevo da Rosa la seguente domanda:
Caro professore, se ho la funzione
\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}-1}{{{\left( x+2 \right)}^{2}}}\]
come faccio a ricercare tutti i suoi asintoti?
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Rosa,
gli eventuali asintoti verticali si trovano in corrispondenza di limiti infiniti in punti finiti, e chiaramente questo si verifica, nel tuo esempio, per \(x=-2\), nel cui limite \(f(x)\) tende a \(-9/0^+\), cioè \(-\infty\). La funzione, che possiamo riscrivere come
\[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{2}}+4x+4}\]
chiaramente tende a \(\pm\infty\) per \(x\) che tende a \(\pm\infty\), ma essendo \(1\) la differenza tra i gradi di numeratore e denominatore, ci aspettiamo un asintoto obliquo; infatti:
\[m=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}-1}{{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x}=1\]
\[q=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-mx \right)=\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-4{{x}^{2}}-4x-1}{{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x}=-4\]
Pertanto, il grafico ammette la retta \(y=x-4\) come asintoto obliquo.
Massimo Bergamini