Ricevo da Emanuela la seguente domanda:
Carissimo professore, ho difficoltà nel determinare gli eventuali asintoti delle seguenti funzioni:
\[y=\left( x+2 \right){{e}^{x-1}}\quad \quad y=\left( x-2 \right){{e}^{-x-1}}\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Emanuela,
osserviamo innanzitutto che i grafici delle due funzioni si corrispondono nella simmetria centrale di centro l’origine del riferimento, e quindi anche agli eventuali asintoti dell’uno corrispondono asintoti dell’altro. Se consideriamo la prima delle due funzioni, notiamo che la funzione non può ammettere asintoti verticali, essendo definita e continua in tutto \(\mathbb{R}\). Nel limite per \(x\) che tende a \(+\infty\) la funzione tende a \(+\infty\), e in modo tale che anche \(y/x\) è ancora un infinito, il che esclude la presenza di un asintoto obliquo. Nel limite per \(x\) che tende a \(-\infty\) la funzione tende a \(0\), perché in tale limite, come si può dimostrare, \(e^x\) è un infinitesimo d’ordine superiore a \(1/x^n\), qualunque sia \(n>0\), quindi la funzione ammette in tale limite un asintoto orizzontale, cioè l’asse \(x\). La seconda funzione, per i motivi i simmetria precedentemente ricordati, ha anch’essa come solo asintoto l’asse delle \(x\), nel limite per \(x\) che tende a \(+\infty\).
Massimo Bergamini