Ricevo da Mery la seguente domanda:
Gentile professore, come si dimostra che
\[{{1}^{2}}+{{2}^{2}}+…+{{n}^{2}}=\frac{{{n}^{3}}}{3}+\frac{{{n}^{2}}}{2}+\frac{n}{6}\]
con il principio di induzione?
La ringrazio
Le rispondo così:
Cara Mery,
si comincia con l’osservare che per \(n=1\) la formula è vera:
\[{{1}^{2}}=\frac{{{1}^{3}}}{3}+\frac{{{1}^{2}}}{2}+\frac{1}{6}=1\quad .\]
Quindi, si tratta di verificare che, se si suppone vera la formula per \(n\), questa risulta vera anche per \(n+1\). In pratica, dobbiamo aggiungere il termine \((n+1)^2\) al secondo termine della formula e verificare algebricamente che otteniamo lo stesso risultato che si otterrebbe sostituendo \(n+1\) ad \(n\) in questo secondo termine, cioè dobbiamo verificare che la seguente uguaglianza è un’identità:
\[\frac{{{n}^{3}}}{3}+\frac{{{n}^{2}}}{2}+\frac{n}{6}+{{\left( n+1 \right)}^{2}}=\frac{{{\left( n+1 \right)}^{3}}}{3}+\frac{{{\left( n+1 \right)}^{2}}}{2}+\frac{\left( n+1 \right)}{6}\]
Sviluppando l’espressione si ottiene:
\[2{{n}^{3}}+9{{n}^{2}}+13n+6=2{{n}^{3}}+9{{n}^{2}}+13n+6\]
il che conclude la dimostrazione.
Massimo Bergamini