Ricevo da Andrea la seguente domanda:
Gentile professore,
la mia domanda è sorta dai seguenti esercizi:
Studiare la funzione integrale, determinandone dominio, monotonia, concavità e convessità, flessi, asintoti, (ed eventualmente grafico)
\[1)\ \int\limits_{1}^{x}{\frac{{{e}^{2t}}}{\sqrt{t}}}\,dt\quad \quad 2)\ {{\int\limits_{1}^{x}{\left( \frac{\ln t}{t} \right)}}^{2}}\,dt\quad \]
Risolvendo questi, ho avuto notevoli problemi nel determinarne il dominio e mi è sorto un dubbio: devo integrare le funzioni normalmente, risolvendo prima l'integrale indefinito e dopo sostituire in quest'ultima espressione gli estremi di integrazione, secondo la regola di calcolo degli integrali definiti?
Sperando in un suo aiuto, la ringrazio per il supporto che offre costantemente agli studenti.
Gli rispondo così:
Caro Andrea,
non sempre è possibile studiare una funzione integrale determinandone l’epressione esplicita tramite l’integrale indefinito: quest’ultimo potrebbe non essere infatti esprimibile in termini finiti, come avviene nel primo dei tuoi esempi. Tuttavia, rimane possibile in generale, sotto certe ipotesi (continuità della funzione integranda), lo studio della funzione derivata, da cui trarre conclusioni in merito a monotonia, concavità/convessità, flessi, in quanto, nelle ipotesi suddette:
\[f\left( x \right)=\int\limits_{a}^{x}{g\left( t \right)\,dt\to }\frac{df\left( x \right)}{dx}=g\left( x \right)\quad .\]
Riguardo al dominio, si tratta di individuare il più ampio degli intervalli in cui sia posibile scegliere \(x\) in modo che l’integrale risulti definito, cioè in cui la funzione integranda risulti integrabile e limitata: facilmente si osserva che in entrambi i casi si tratta dell’insieme dei reali strettamente positivi, cioè dell’intervallo \(]0,+\infty[\).
Nel primo esempio si ha quindi
\[f\left( x \right)=\int\limits_{1}^{x}{\frac{{{e}^{2t}}}{\sqrt{t}}}\,dt\to f'\left( x \right)=\frac{{{e}^{2x}}}{\sqrt{x}}\to f''\left( x \right)=\frac{{{e}^{2x}}\left( 4x-1 \right)}{2x\sqrt{x}}\]
da cui si deduce che la funzione è monotona crescente (\(f^\prime >0\) per ogni \(x>0\)), ha concavità verso il basso per \(x<1/4\), verso l’alto per \(x>1/4\), e presenta un flesso obliquo per \(x=1/4\) (segno e zeri di \(f^{\prime\prime}\)). La funzione si annulla per \(x=1\), quindi, essendo monotona crescente e continua in \(x>0\), è negativa per \(x<1\), positiva per \(x>1\). Si può escludere la presenza di un asintoto obliquo, poichè nel limite per \(x\) che tende a \(+\infty\) la funzione tende a \(+\infty\) (la funzione integranda è positiva e crescente) ma in modo più rapido di \(x\) stesso (per il teorema di de l’Hospital, il limite del rapporto \(f(x)/x\) può essere ricondotto al limite di \(f^\prime(x)\).
Nel secondo caso, la funzione può essere esplicitamente ricavata tramite l’integrazione indefinita (integrando per parti):
\[\int{{{\left( \frac{\ln t}{t} \right)}^{2}}}dt=\int{{{\ln }^{2}}t\cdot \frac{1}{{{t}^{2}}}\,}dt=-\frac{1}{t}{{\ln }^{2}}t+2\int{\frac{\ln t}{{{t}^{2}}}\,dt=\,}\]
\[=-\frac{1}{t}{{\ln }^{2}}t+2\left( -\frac{1}{t}\ln t-\frac{1}{t} \right)+c\]
per cui
\[f\left( x \right)={{\int\limits_{1}^{x}{\left( \frac{\ln t}{t} \right)}}^{2}}\,dt=\left[ -\frac{1}{t}{{\ln }^{2}}t-\frac{2\left( 1+\ln t \right)}{t} \right]_{1}^{x}=-\frac{{{\ln }^{2}}x+2\ln x+2-2x}{x}\]
Come puoi verificare,
\[f'\left( x \right)={{\left( \frac{\ln x}{x} \right)}^{2}}\to f''\left( x \right)=\frac{2\ln x\left( 1-\ln x \right)}{{{x}^{3}}}\]
Quindi anche in questo caso la funzione è monotona crescente, con derivata prima che si annulla in \(x=1\) senza però cambiare segno, e derivata seconda che si annulla in \(x=1\) (flesso orizzontale), e in \(x=e\) (flesso obliquo). La funzione tende a \(-\infty\) per \(x\) che tende a \(0^+\), a \(2\) per \(x\) che tende a \(+\infty\), quindi ammette un asintoto verticale e uno orizzontale.
Massimo Bergamini