Ricevo da Martina la seguente domanda:
Gentile professore, vorrei chiederle come posso determinare punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione e se l'insieme è chiuso/aperto della seguente successione \(x\) in \(\mathbb{R}\):
\[x=\frac{n}{n+1}\quad \quad n\in \mathbb{N}\]
Spero mi possa aiutare. La ringrazio in anticipo. Cordiali saluti.
Le rispondo così:
Cara Martina,
ricordiamo che, nell’usuale topologia della retta reale, dati un sottoinsieme \(A\subseteq \mathbb{R}\) e un punto \(c\in \mathbb{R}\), e detto \(I(c)\) un generico intorno di \(c\) (cioè un intervallo aperto contenente \(c\)):
- \(c\) è interno ad \(A\) se esiste almeno un intorno \(I(c)\) tutto contenuto in \(A\), cioè costituito solamente da punti che appartengono ad \(A\)
- \(c\) è esterno ad \(A\) se esiste almeno un intorno \(I(c)\) tutto contenuto nel complementare in \(\mathbb{R}\) di \(A\), cioè costituito solamente da punti che non appartengono ad \(A\)
- \(c\) è di frontiera per \(A\) se non è né interno né esterno, cioè se in ogni suo intorno vi sono sia punti appartenenti ad \(A\) sia punti non appartenenti ad \(A\)
- \(c\) è di accumulazione per \(A\) se in ogni suo intorno vi sono punti appartenenti ad \(A\) distinti da \(c\) (quindi in ogni intorno di \(c\) vi sono infiniti punti di \(A\))
- \(c\) è un punto isolato di \(A\) se appartiene ad \(A\) ma non è di accumulazione per \(A\), cioè esiste almeno un suo intorno che non contiene punti di \(A\) distinti da \(c\)
- L’insieme \(A\) si dice aperto se \(A\) è un intorno di ogni punto \(x\in A\): in altri termini, \(A\) è aperto se e solo se tutti i suoi punti sono interni ad \(A\)
- L’insieme \(A\) si dice chiuso se il suo complementare in \(\mathbb{R}\) è aperto; \(A\) è chiuso se e solo se contiene tutti i suoi punti di accumulazione
Quindi, posto che \(A=\left( x\in \mathbb{R}|x=n/(n+1),\;n\in \mathbb{N} \right)\), si deduce facilmente che ogni punto di \(A\) è isolato (si può determinare un suo intorno abbastanza “stretto” da lasciare fuori ogni altro punto dell’insieme) e di frontiera (ogni suo intorno contiene almeno un punto dell’insieme, esso stesso, ma anche punti che non stanno nell’insieme), ed inoltre il punto \(x=1\) non appartiene all’insieme ma è di accumulazione (ogni intorno \(I(1)\), per quanto stretto, contiene punti di \(A\)) e di frontiera (ogni intorno \(I(1)\), per quanto stretto, contiene punti esterni ad \(A\)). Poiché \(A\) non è fatto solo di punti interni (non ha affatto punti interni), non è aperto, ma non è neppure chiuso, in quanto non contiene tutti i suoi punti di accumulazione (ne ha uno solo, \(x=1\), che non appartiene ad \(A\)).
Massimo Bergamini