Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, come si risolve questo quesito?
Nel quadrilatero convesso \(ABCD\) circoscritto ad una circonferenza l’angolo \(BAC\) è retto e gli angoli \(ABC\) ed \(ACD\) sono uguali. Sapendo che \(AB=28a\), \(BC=35a\), determinare il perimetro del triangolo \(ADC\) ed il volume del prisma retto che ha per base il quadrilatero dato e l’altezza uguale ad \(AB\).
Grazie mille
Le rispondo così:
Cara Elisa,
indichiamo i segmenti di tangente in questo modo:
\[FC=CH=x\quad HD=DK=y\quad KA=AG=z\quad GB=BF=w\]
e deduciamo dall’ipotesi che \(x+w=35a\) e \(w+z=28a\). Inoltre si ricava facilmente che, detto \(\alpha\) l’angolo \(CBA\) :
\[CA=21a\to \cos \alpha =\frac{4}{5},\quad \sin \alpha =\frac{3}{5}\quad \]
Ma dall’ipotesi che l’angolo \(ACD\) sia congruente all’angolo \(CBA\) discende anche che l’angolo \(BCD\) è retto e quindi che \(CFOH\) è un quadrato, per cui \(OH=GO=x\), raggio della circonferenza inscritta. Possiamo allora dedurre la misura di \(x\) dal fatto che
\[\frac{OG}{GB}=\tan \frac{\alpha }{2}\to \frac{x}{35a-x}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }\to 3x=35a-x\to x=\frac{35}{4}a\]
da cui \(w=105a/4\) e \(z=7a/4\). Per ricavare \(y\) possiamo applicare il teorema di Carnot al triangolo \(ACD\), sapendo che il coseno dell’angolo \(ACD\) vale \(4/5\):
\[{{\left( \frac{35}{4}a+y \right)}^{2}}+441{{a}^{2}}-\frac{168}{5}a\left( \frac{35}{4}a+y \right)={{\left( \frac{7}{4}a+y \right)}^{2}}\to y=\frac{45}{4}a\]
Pertanto il perimetro del triangolo \(ADC\) è \(54a\).
Essendo poi l’area \(S\) del quadrilatero \(ABCD\) pari al prodotto tra il suo semiperimetro e il raggio della circonferenza inscritta, cioè \(S=420a^2\), il volume \(V\) del prisma richiesto risulta essere \(V=11760a^3\).
Massimo Bergamini