Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore, si può risolvere questo quesito con l’aiuto della geometria analitica?
La retta che congiunge il baricentro e l’incentro del triangolo \(ABC\), rettangolo in \(B\), è perpendicolare al cateto \(AB\). Determinare il perimetro del triangolo \(ABC\), sapendo che il raggio della circonferenza in esso inscritta misura \(6a\) e che \(AC=30a\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la risposta è sì, l’approccio analitico mi pare il più conveniente. Posto il vertice \(B\) al centro di un riferimento avente l’asse \(x\) in direzione del cateto \(BC\) e l’asse \(y\) in direzione del cateto \(AB\), considerando che l’incentro \(I\) è il centro della circonferenza inscritta il cui raggio è per ipotesi \(6a\), si ha subito che le coordinate di \(I\) sono \((6a,6a)\), e in conseguenza dell’ipotesi si ha che l’ordinata del baricentro \(G\) è anch’essa \(6a\). Se \(A(0,y)\), \(B(0,0)\) e \(C(x,0)\) sono i vertici del triangolo, per definizione di baricentro deve essere \(y/3=6a\), da cui \(y=18a\), e inoltre, per ipotesi, \(x^2+y^2=900a^2\), per cui \(x=24a\). Si ha dunque un perimetro pari a \(72a\).
Massimo Bergamini