Ricevo da Bruno la seguente domanda:
Buona sera, non riesco a risolvere il seguente esercizio:
Scrivere le equazioni di tutte le sfere tangenti in \(P(1;1;0)\) al piano \(x=y\). Tra tali sfere determinare quelle di raggio \(r=\sqrt{2}\).
La ringrazio anticipatamente
La ringrazio anticipatamente
Cordiali saluti
Gli rispondo così:
Caro Bruno,
qualche considerazione geometrica ci aiuta a concludere che le sfere in questione sono tutte e sole le sfere aventi centro in un punto \(O\) della retta per \(P\) perpendicolare al piano \(x=y\) e raggio \(r\) pari a \(OP\): tale retta, che giace nel piano \(z=0\), può essere scritta in forma parametrica come \(\left\{ \left( t,-t+2,0 \right),t\in \mathbb{R} \right\}\) , per cui
\[OP={{r}_{t}}=\sqrt{{{\left( t-1 \right)}^{2}}+{{\left( -t+1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2}\left| t-1 \right|\;\;\;.\]
Quindi la sfera \(S_t\) del fascio ha equazione:
\[{{S}_{t}}:\quad {{\left( x-t \right)}^{2}}+{{\left( y+t-2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=2{{\left( t-1 \right)}^{2}}\]
cioè
\[{{S}_{t}}:\quad {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2tx-2\left( 2-t \right)y+2=0\quad .\]
Le sfere di raggio \(r=\sqrt{2}\) sono quelle tali che \(\sqrt{2}\left| t-1 \right|=\sqrt{2}\), cioè quelle corrispondenti a \(t=0\) e a \(t=2\):
\[{{S}_{0}}:\quad {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4y+2=0\quad {{S}_{2}}:\quad {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2=0\quad .\]
Massimo Bergamini