Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro Professore, ho trovato difficoltà a capire questa traccia:
Nel triangolo rettangolo \(ABC\) i cateti \(AB\) e \(BC\) misurano \(cm\;12\) e \(cm\;16\) rispettivamente. Su \(AB\) si prende il punto \(P\) in modo che \(AP\) sia maggiore di \(PB\) e su \(BC\) si prende il punto \(Q\) in modo che la somma dei rettangoli aventi per lati l’uno \(AB\) e \(PB\) e l’altro \(BC\) e \(BQ\) sia equivalente al triangolo rettangolo isocele di lato \(AC\). Sapendo che \(PQ\) misura \(5\sqrt{5}\), determinare l’area del triangolo \(BPQ\) e il perimetro del triangolo \(PMQ\), essendo \(M\) il punto medio di \(AC\).
Aspetto una vostra risposta, grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
posto \(x=PB\) e \(y=BQ\), e ricavato \(AC=20\) dal teorema di Pitagora, l’equivalenza ipotizzata si traduce nell’equazione \(12x+16y=200\) che, combinata con la condizione pitagorica \(x^2+y^2=125\), conduce alle soluzioni \(x=10\) e \(x=2\), di cui la prima è da scartare in quanto si è ipotizzato \(AP>PB\). Quindi \(x=2\) e \(y=11\), da cui si deduce ovviamente l’area di \(BPQ\), pari a \(11\). Per determinare i lati \(MQ\) e \(MP\) del triangolo \(PMQ\) si può utilizzare il teorema di Carnot, tenendo conto che i coseni degli angoli \(BCA\) e \(BAC\) sono rispettivamente \(4/5\) e \(3/5\):
\[M{{Q}^{2}}=100+25-100\cdot \frac{4}{5}\to MQ=3\sqrt{5}\]
\[P{{M}^{2}}=100+100-200\cdot \frac{3}{5}\to PM=4\sqrt{5}\]
per cui il perimetro richiesto è \(12\sqrt{5}\). Si noti che anche il triangolo \(PMQ\) risulta rettangolo.
Massimo Bergamini