Ricevo da Maria la seguente domanda:
Gentilissimo professore, mi può indicare il procedimento per risolvere dei problemi sulle derivate riguardanti il moto del piano, come i seguenti (n.600 e n.604 pag v88 Manuale Blu)?
1) Le equazioni di un moto sono
\[\left\{ \begin{array}{ll} x=2t-1 \\ y=t^2 \end{array}\right.\]
Trova modulo e direzione del vettore velocità al tempo \(t=4s\), sapendo che \(x\) e \(y\) sono espressi in metri.
2) Un corpo si muove in un piano secondo le leggi orarie:
\[\left\{ \begin{array}{ll} x=2\sin 2t \\ y=2\cos 2t \end{array}\right.\]
a) Dimostra che la traiettoria è una circonferenza;
b) dimostra che la velocità è costante;
c) verifica che l’accelerazione è sempre centripeta ovvero che in ogni istante il vettore accelerazione giace su una retta che passa per il centro della circonferenza.
La ringrazio.
Le rispondo così:
Cara Maria,
in un moto piano, le componenti del vettore velocità \(\vec{v}\) sono le derivate rispetto al tempo delle funzioni orarie \(x(t)\) e \(y(t)\), cioè \(v_x(t)=x^\prime (t)\) e \(v_y(t)=y^\prime (t)\), e analogamente, per quanto riguarda l’accelerazione \(\vec{a}\) , \(a_x(t)=v_x^\prime (t)\) e \(a_y(t)=v_y^\prime (t)\). Pertanto, nel primo esercizio
\[{{v}_{x}}\left( t \right)=2\quad {{v}_{y}}\left( t \right)=2t\]
e in particolare per \(t=4s\) si ha \(\vec{v}=\left( 2,8 \right)\) , cioè \(v=\sqrt{68}=2\sqrt{17}\ m/s\), e \(\tan \alpha =4\to \alpha \approx 76^\circ \).
Nel secondo caso, che la traiettoria sia una circonferenza lo si ricava eliminando il parametro \(t\) tra le due equazioni, posto che \(x/2=\sin 2t\) e \(y/2=\cos 2t\), per cui \(x^2/4+y^2/4=1\), cioè \(x^2+y^2=4\). In analogia con l’esercizio precedente, il vettore velocità ha componenti
\[\left\{ \begin{array}{ll} v_x=4\cos 2t \\ v_y=-4\sin 2t \end{array}\right.\]
e pertanto il modulo della velocità è costante nel tempo:
\[v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{4{{\cos }^{2}}2t+4{{\sin }^{2}}2t}=2\;m/s\]
mentre il vettore accelerazione ha componenti
\[\left\{ \begin{array}{ll} a_x=-8\sin 2t \\ a_y=-8\cos 2t \end{array}\right.\]
cioè, in ogni istante \(t\), \(a_y/a_x=y/x=\tan 2t \): il vettore \(\vec{a}\) , che ha anch’esso modulo costante pari a \(8\;m/s^2\), giace sulla retta \(OP\) che congiunge il centro \(O\) con il punto mobile \(P\) di coordinate \((x(t),y(t))\). Si tratta, ovviamente, di un moto circolare uniforme.
Massimo Bergamini