MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Derivate e cinematica nel piano

Derivate e cinematica nel piano

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 28 Gennaio 2011
Ricevo da Maria la seguente domanda:
 
Gentilissimo professore, mi può indicare il procedimento per risolvere dei problemi sulle derivate riguardanti il moto del piano, come i seguenti (n.600 e n.604 pag v88 Manuale Blu)?
 
1) Le equazioni di un moto sono
\[\left\{ \begin{array}{ll} x=2t-1 \\ y=t^2 \end{array}\right.\]
Trova modulo e direzione del vettore velocità al tempo \(t=4s\), sapendo che \(x\) e \(y\) sono espressi in metri.
 
2) Un corpo si muove in un piano secondo le leggi orarie:
\[\left\{ \begin{array}{ll} x=2\sin 2t \\ y=2\cos 2t \end{array}\right.\]
a) Dimostra che la traiettoria è una circonferenza;
b) dimostra che la velocità è costante;
c) verifica che l’accelerazione è sempre centripeta ovvero che in ogni istante il vettore accelerazione giace su una retta che passa per il centro della circonferenza.
 
La ringrazio.
 
Le rispondo così:
 
Cara Maria,
in un moto piano, le componenti del vettore velocità \(\vec{v}\)   sono le derivate rispetto al tempo delle funzioni orarie \(x(t)\) e \(y(t)\), cioè \(v_x(t)=x^\prime (t)\) e \(v_y(t)=y^\prime (t)\), e analogamente, per quanto riguarda l’accelerazione \(\vec{a}\)  , \(a_x(t)=v_x^\prime (t)\) e \(a_y(t)=v_y^\prime (t)\). Pertanto, nel primo esercizio
                                              \[{{v}_{x}}\left( t \right)=2\quad {{v}_{y}}\left( t \right)=2t\]
e in particolare per \(t=4s\) si ha \(\vec{v}=\left( 2,8 \right)\)  , cioè \(v=\sqrt{68}=2\sqrt{17}\ m/s\), e \(\tan \alpha =4\to \alpha \approx 76^\circ \).
Nel secondo caso, che la traiettoria sia una circonferenza lo si ricava eliminando il parametro \(t\) tra le due equazioni, posto che \(x/2=\sin 2t\) e \(y/2=\cos 2t\), per cui \(x^2/4+y^2/4=1\), cioè \(x^2+y^2=4\). In analogia con l’esercizio precedente, il vettore velocità ha componenti
\[\left\{ \begin{array}{ll} v_x=4\cos 2t \\ v_y=-4\sin 2t \end{array}\right.\]
e pertanto il modulo della velocità è costante nel tempo:
                                    \[v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}=\sqrt{4{{\cos }^{2}}2t+4{{\sin }^{2}}2t}=2\;m/s\]
mentre il vettore accelerazione ha componenti
\[\left\{ \begin{array}{ll} a_x=-8\sin 2t \\ a_y=-8\cos 2t \end{array}\right.\]
cioè, in ogni istante \(t\), \(a_y/a_x=y/x=\tan 2t \): il vettore \(\vec{a}\)  , che ha anch’esso modulo costante pari a \(8\;m/s^2\), giace sulla retta \(OP\) che congiunge il centro \(O\) con il punto mobile \(P\) di coordinate \((x(t),y(t))\). Si tratta, ovviamente, di un moto circolare uniforme.
 
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, derivate, vettori


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl