Ricevo da Marco la seguente domanda:
Gentile professore,
in un esercizio sul libro di testo ho la seguente richiesta:
Date
\[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x-1\;\;\;\;x\geq 0 \\ 2-x\;\;\;\;x<0 \end{array}\right.\]
\[g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2-1\;\;\;\;x\geq 0 \\ 2-x\;\;\;\;x<0 \end{array}\right.\]
determinare \(h(x)=g\circ f\) e il relativo grafico.
Il mio problema è questo: come faccio a determinare le funzioni composte di funzioni definite in questo modo?
La ringrazio tantissimo se mi aiuta.
Gli rispondo così:
Caro Marco,
prima di tutto si tratta di accertarsi che le funzioni siano componibili, cioè, in questo caso, che il codominio di \(f\) sia contenuto nel dominio di \(g\): essendo \(g\) definita in tutto \(\mathbb{R}\), non ci sono problemi.
Quindi, si deve esaminare ognuno dei casi di \(f\) alla luce dei valori assunti da \(f\), in relazione alla condizione che definisce i casi di \(g\). Nel nostro esempio procediamo così:
caso \(x\ge 0\) : si deve esaminare il segno di \(x-1\), e osservare che, per \(0\leq x <1\) si ha \(x-1 < 0\), per cui \( g\circ f (x)=2-(x-1)=3-x\), mentre se \(x\geq 1\) si ha \(x-1\geq 0\), per cui \( g\circ f (x)=(x-1)^2-1=x^2-2x\);
caso \(x< 0\) : si deve esaminare il segno di \(2-x\), e osservare che, per ogni \(x< 0\), si ha \(2-x>0\), per cui \( g\circ f (x)=(2-x)2-1=x^2-4x+3\). Riassumendo:
\[h(x)= g\circ f (x)=\left\{ \begin{array}{lll} x^2-2x\;\;\;\;x\geq 1 \\ 3-x\;\;\;\;0\leq x<1 \\ x^2-4x+3\;\;\;\;x<0 \end{array}\right.\]
Massimo Bergamini