Ricevo da Adriano la seguente domanda:
Caro professore, mi potrebbe aiutare a impostare i seguenti problemi (n. 240 e n. 241 pag. v198 Manuale Blu di Matematica)?
1) Fra tutti i rombi circoscritti a un cerchio di raggio che misura \(r\), determina quello:
a) di perimetro minimo;
b) di area minima.
2) Nell’insieme dei trapezi isosceli inscritti in una semicirconferenza di raggio che misura \(r\), determina quello di perimetro massimo.
La ringrazio.
Gli rispondo così:
Caro Adriano,
nel primo caso, se \(OH\) è il raggio della circonferenza inscritta perpendicolare al lato \(CD\), questo risulta diviso in due segmenti \(HD\) e \(CH\) tali che, per il 2° teorema di Euclide, \(HD\cdot CH=r^2\). Posto \(HD=x\), si ha quindi \(CH=r^2/x\), e il perimetro \(p(x)\) è dato da \(p(x)=4(x+r^2/x)\), la cui derivata è
\[p'\left( x \right)=\frac{4\left( {{x}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}{{{x}^{2}}}\]
negativa per \(x<r\), nulla per \(x=r\), positiva per \(x>r\): \(x=r\) realizza quindi un minimo per il perimetro, corrispondente al caso in cui il rombo si riduce a un quadrato di lato \(2r\). In questo caso si realizza anche l’area \(S\) minima, infatti
\[S\left( x \right)=\frac{r\left( {{x}^{2}}+{{r}^{2}} \right)}{2x}\to S'\left( x \right)=\frac{r\left( {{x}^{2}}-{{r}^{2}} \right)}{2{{x}^{2}}}\quad .\]
Nel secondo caso, posto \(x=OH\), essendo \(H\) la proiezione di uno degli estremi della base minore del trapezio, si ricava subito il perimetro \(p(x)\) applicando il teorema di Pitagora ai triangoli \(OHC\) e \(BHC\):
\[p\left( x \right)=2r+2x+2\sqrt{2{{r}^{2}}-2rx}\]
La derivata
\[p'\left( x \right)=2-\frac{2r}{\sqrt{2{{r}^{2}}-2rx}}\]
si annulla se e solo se \[\sqrt{2{{r}^{2}}-2rx}=r\to x=\frac{r}{2}\] caso che corrisponde ad un trapezio pari a un semiesagono inscritto.
Massimo Bergamini