Ricevo da Mariangela la seguente domanda:
Il seguente esercizio mi chiede di determinare i parametri della funzione
\[y=\frac{a{{x}^{3}}+b}{c{{x}^{2}}+d}\]
in modo che abbia per asintoti le rette di equazione \(y=2x\) e \(x=1\), e un flesso in \(x=0\). Io non ho capito che informazione mi da la retta \(y=2x\)
In attesa di una risposta la ringrazio in anticipo.
Le rispondo così:
Cara Mariangela,
posto che \(y=f(x)\) è la funzione da determinare, le varie condizioni possono essere riassunte così:
\[\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty \quad \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=2\quad \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-2x \right)=0\quad f''\left( 0 \right)=0\]
Le prime tre implicano:
\[c+d=0\quad \frac{a}{c}=2\quad a-2c=0\to a=2c\quad d=-c\]
e poiché \(c\neq 0\), si ha
\[y=\frac{2{{x}^{3}}+b/c}{{{x}^{2}}-1}\]
La derivata seconda della funzione, calcolata in \(x=0\) è data da \(y''\left( 0 \right)=2b/c\), per cui \(y''\left( 0 \right)=0\to b=0\). La funzione richiesta è quindi, indipendentemente dal valore di \(c\neq 0\)
\[y=\frac{2{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}-1}\quad .\]
Massimo Bergamini