Ricevo da Rosy la seguente domanda:
Caro professore mi potrebbe aiutare a continuare lo studio della seguente funzione (esercizio n. 51 pag. v244 del Manuale Blu di Matematica)?
\[y=\frac{3}{{{x}^{3}}-4x}\]
Mi sono bloccata proprio all'ultimo punto dove devo studiare la derivata seconda…la ringrazio
Le rispondo così:
Cara Rosy,
facilmente si osserva che la funzione, definita per \(x\in \mathbb{R}-\left\{ 0,\pm 2 \right\}\), è simmetrica rispetto all’origine (funzione dispari), presenta asintoti verticali nei punti di non definizione e ha come asintoto orizzontale l’asse delle \(x\), essendo \(0\) i limiti agli infiniti. La funzione derivata prima
\[y'=\frac{3\left( 4-3{{x}^{2}} \right)}{{{x}^{2}}{{\left( {{x}^{2}}-4 \right)}^{2}}}\]
si annulla per \(x=\pm 2/\sqrt{3}\), dove il grafico presenta un minimo e un massimo relativi. La derivata seconda
\[y''=\frac{12\left( 3{{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+8 \right)}{{{x}^{3}}{{\left( {{x}^{2}}-4 \right)}^{3}}}\]
come puoi verificare, non si annulla per alcun valore di \(x\), ed è positiva per \(-2<x<0\) e per \(x>2\) (concavità verso l’alto), negativa altrove nel dominio della funzione (concavità verso il basso).
Massimo Bergamini