Ricevo da Mattia la seguente domanda:
Gentile professore, non riesco a risolvere questo esercizio sulla conica, spero lei mi possa aiutare:
Scrivere l'equazione della conica \(C\), tangente alla retta \(t:\;x-1=0\) in \((1,0)\), che ammette come retta polare di \((1,1)\) la retta \(s:\;3x-2y-3=0\), passante per \((-1,2)\).
Grazie in anticipo!
Gli rispondo così:
Caro Mattia,
posto che, in coordinate omogenee \(X=(x,y,z)\), una conica è data dall'espressione
\[f\left( X\,X \right)\equiv a{{x}^{2}}+\frac{b}{2}\left( xy+yx \right)+c{{y}^{2}}+\frac{d}{2}\left( xz+zx \right)+\frac{e}{2}\left( yz+zy \right)+f{{z}^{2}}=0\]
e che un punto \(P=(x_0,y_0,z_0) ha come retta polare (che, nel caso che P appartenga alla conica, è la tangente in P) la retta
\[f\left( P\,X \right)\equiv ax{{x}_{0}}+\frac{b}{2}\left( {{x}_{0}}y+{{y}_{0}}x \right)+cy{{y}_{0}}+\frac{d}{2}\left( {{x}_{0}}z+{{z}_{0}}x \right)+\frac{e}{2}\left( {{y}_{0}}z+{{z}_{0}}y \right)+fz{{z}_{0}}=0\]
e considerato che le coordinate omogenee possono essere semplificate, posto \(z=1\), in \(X=(x,y,1)\) (essendo quindi \((x,y)\) corrispondenti alle usuali coordinate cartesiane), le varie condizioni possono così essere riassunte:
1) \(\left( 1,0 \right)\in C\to a+d+f=0\)
2) \(\left( -1,2 \right)\in C\to a-2b+4c-d+2e+f=0\)
3) \(x-1=0\) è la polare (=tangente) di \(\left( 1,0 \right)\) \(\to 2ax+by+d\left( 1+x \right)+ey+2f=0\) equivale a \(x-1=0\), cioè:
\[b+e=0\wedge a+d+f=0\]
4) \(3x-2y-3=0\) è la polare di \(\left( 1,1 \right)\) \(\to \left( 2a+b+d \right)x+\left( b+2c+e \right)y+d+e+2f=0\) equivale a \(3x-2y-3=0\) , cioè:
\[2a+b+d=3\wedge b+2c+e=-2\wedge d+e+2f=-3\]
Le condizioni suddette costituiscono un sistema di sei equazioni indipendenti per i sei parametri della conica. Risolto il sistema, si ottiene:
\[-5xy-y^2+8x+5y-8=0\]
che risulta essere una iperbole. Si noti che, come atteso, la retta \(s\) è la retta passante per i punti di contatto tra la conica e le tangenti condotte dal polo di \(s\), cioè il punto \(\left( 1,1 \right)\).
Massimo Bergamini